Ứng dụng của công thức lượng giác vào thực tế

Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần \(\mathrm{f}_{1}(\mathrm{t})=5 \operatorname{sint}\) và phát lại được nốt thuần \(\mathrm{f}_{2}(\mathrm{t})=5 \cos t\) thì âm kết hợp là \(\mathrm{f}(\mathrm{t})=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{t})+\mathrm{f}_{2}(\mathrm{t})\), trong đó \(\mathrm{t}\) là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng \(f(t)=k \sin (t+\varphi)\), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm \(\mathrm{k}\) và pha ban đầu \(\mathrm{j}(-\pi \leq \varphi \leq \pi)\) của sóng âm.

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t) \\ =5 \sin t+5 \cos t \\ =5(\sin t+\cos t) \\ =5 \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin t+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos t\right) \\ =5 \sqrt{2}\left(\sin t \cos \frac{\pi}{4}+\cos t \sin \frac{\pi}{4}\right) \\ =5 \sqrt{2} \sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right) .\end{array}\)

Vậy \(k=5 \sqrt{2}\) và \(\varphi=\frac{\pi}{4}\).

Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức \(x(t)=A \cos (\omega t+\varphi)\), trong đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t, A\) là biên độ dao động \((A\gt 0)\) và \(\varphi \in[-\pi ; \pi]\) là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình \(x_{1}(t)=2 \cos \left(\frac{\pi}{3} t+\frac{\pi}{6}\right)(\mathrm{cm})\), \(x_{2}(t)=2 \cos \left(\frac{\pi}{3} t-\frac{\pi}{3}\right)(\mathrm{cm})\). Tìm dao động tổng hợp \(\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{x}_{1}(\mathrm{t})+\mathrm{x}_{2}(\mathrm{t})\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Lời giải

                              Có \(x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\) nên

                               Vậy \(A=2 \sqrt{2}\) và \(\varphi=-\frac{\pi}{12}\).

Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là \(x_{1}=6 \cos 100 \pi t(\mathrm{~mm})\) và \(x_{2}=6 \sin 100 \pi t(\mathrm{~mm})\), (t tính bằng giây). Tính li độ của vật tại thời điểm t = 0,25 giây.

A. 6 ;

B. -6 ;

C. \(12 ;\)

D. -12 .

Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là \(x_{1}=\) \(5 \cos (100 \pi t+\pi)(\mathrm{cm})\) và \(x_{2}=5 \cos \left(100 \pi t-\frac{\pi}{2}\right)(\mathrm{cm})\). Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên là

A. \(5 \sqrt{2} \cos \left(100 \pi t+\frac{3 \pi}{4}\right)(\mathrm{cm})\)

B. \(5 \sqrt{2} \cos \left(100 \pi t-\frac{3 \pi}{4}\right)(\mathrm{cm})\)

C. \(10 \cos \left(100 \pi t-\frac{3 \pi}{4}\right)(\mathrm{cm})\)

D. \(10 \cos \left(100 \pi t+\frac{3 \pi}{4}\right)(\mathrm{cm})\).

Một sợi cáp \(R\) được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất \(14 \mathrm{~m}\). Một sợi cáp \(S\) khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất \(12 \mathrm{~m}\). Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột \(15 \mathrm{~m}\). Tính tana (a là góc giữa hai sợi dây cáp trên).

A. \(\frac{14}{15}\);

B. \(\frac{12}{15}\);

C. \(\frac{10}{131}\) ；

D. \(\frac{130}{19}\).

Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình \(x_{1}(t)=2 \sqrt{3} \sin \left(4 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)\) và \(x_{2}(t)=2 \cos \left(4 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)\). Biết rằng phương trình dao động tổng hợp của vật đó \(x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)\) viết được dưới dạng \(x(t)=A \cos (\omega t+\) \(\varphi)\). Xác định \(\omega\).

A. \(\frac{\pi}{6}\)

B. \(-\frac{\pi}{6} ;\)

C. \(4 \pi ;\)

D. \(4 \pi t\).