Ứng dụng tích phân : Tính diện tích Parabol đơn thuần

Trương Hồng Hạnh

Trong bài viết này, Examon sẽ giới thiệu về cách tính diện tích của một parabol đơn thuần thông qua việc sử dụng tính chất và định lý của tích phân.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Kiến thức cần nhớ
  • 2. Định lý cần dùng
  • 3. Phương pháp giải
  • 4. Bài tập minh họa
    • 4.1. Bài tập 1
    • 4.2. Bài tập 2
    • 4.3. Bài tập 3
  • 5. Chinh phục môn học với sự hỗ trợ từ Examon

Đến với bài viết này, các bạn sẽ được Examon giới thiệu cách tính diện tích của hình parabol thông qua việc sử dụng phương pháp tích phân. Qua đó bạn sẽ hiểu rõ hơn về cách tích phân tác động vào các cuộc sống hằng ngày như thế nào. Hãy cùng tìm hiểu và khám phá sự thú vị của việc áp dụng tích phân vào các bài toán thực tế này nhé !

banner

1. Kiến thức cần nhớ

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

trong đó : 

\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,

\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên, 

\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân

\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

2. Định lý cần dùng

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Khi đó diện tích \(S\) của hình phẳng \((D)\) ̧giới hạn bời đồ thị hàm số \(y=f(x)\); trục hoành \(O x \quad(y=0)\) và hai đường thẳng \(x=a ; x=b\) là :

 \(S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\)

3. Phương pháp giải

Bước 1. Chọn hệ trục tọa độ, xác định parabol.

Bước 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và các đường được cho trong bài toán.

Bước 3. Tùy theo thực tế mỗi bài, tính diện tích theo yêu cầu.

Chú ý: Mấu chốt của vấn đề tính diện tích parabol nằm ờ khâu chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Nên chọn hệ trục sao cho đỉnh parabol luôn nằm trùng với gốc \(O\) hoặc nằm trên trục \(O y\). Khi đó hàm số parabol luôn có dạng \(y=a x^{2}+b\).

4. Bài tập minh họa

4.1. Bài tập 1

Bài 1 : Một người làm một cái cổng cổ xưa có dạng Parabol như hình vẽ. Hãy tính diện tích của cái cổng?

Lời giải

image.png

Phương trình parabol \((P)\) có đỉnh \(I(0 ; 4)\) và qua điểm \((0 ; 2)\) là

\[y=-x^{2}+4\]

Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

\[\left\{\begin{array}{c}y=-x^{2}+4 \\y=0 \\x=-2 \\x=2\end{array}\right.\]

Từ đó ta có \(S=\int_{-2}^{2}\left|-x^{2}+4\right| \mathrm{d} x=\left|\int_{-2}^{2}\left(-x^{2}+4\right) \mathrm{d} x\right|=\frac{32}{3}(d v d t)\)

4.2. Bài tập 2

Bài 2 : Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao \(8 \mathrm{~m}\) và rộng \(8 \mathrm{~m}\).

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ \(O x y\) như hình vẽ.

image.png

Vòm cửa là đồ thị của hàm số parabol có dạng:

\[y=a x^{2}+b .(P)\]

Theo đề ra:

\[\begin{array}{l}(4 ; 8) \in(P) \text { nên } 8=16 a+b . \\(0 ; 0) \in(P) \text { nên } 0=0 a+b .\end{array}\]

Từ (1) và (2) suy ra parabol có dạng \(y=\frac{1}{2} x^{2}\).

Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các đường

\[y=\frac{1}{2} x^{2}, y=8 \text {. }\]

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

\[\frac{1}{2} x^{2}=8 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=4 \\x=-4\end{array}\right.\]

Diện tích vòm cửa là

\[S=\int_{-4}^{4}\left(8-\frac{1}{2} x^{2}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(8 x-\frac{1}{6} x^{3}\right)\right|_{-4} ^{4}=\frac{128}{3} .\]

4.3. Bài tập 3

Bài 3 : Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

Lời giải

image.png

Gắn parabol \((P)\) và hệ trục tọa độ sao cho \((P)\) đi qua \(O(0 ; 0)\)

Gọi phương trình của parabol là \((\mathrm{P}):(P): y=a x^{2}+b x+c\)

Theo đề \(\mathrm{ra},(P)\) đi qua ba điểm \(O(0 ; 0), A(3 ; 0), B(1,5 ; 2,25)\).

Từ đó, suy ra \((P): y=-x^{2}+3 x\)

Diện tích phần Bác Năm xây dựng: \(S=\int_{0}^{3}\left|-x^{2}+3 x\right| d x=\frac{9}{2}\)

Vậy số tiền bác Năm phải trả là: \(\frac{9}{2} \cdot 1500000=6750000\) (đồng).

5. Chinh phục môn học với sự hỗ trợ từ Examon

Trong bài viết về ứng dụng tích phân, chúng ta đã tìm hiểu về cách tính diện tích của parabol đơn thuần. Việc áp dụng tích phân vào việc tính diện tích sẽ giúp các bạn nắm vững hơn về khái niệm và cách thức hoạt động của tích phân trong toán học. Hy vọng rằng qua đó các bạn đã có thêm kiến thức và hiểu biết về cách tích phân được sử dụng trong tính toán diện tích như thế nào.

Bạn có thể tham khảo phương pháp học tập hiệu quả của Examon.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

image.png
Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!