Full công thức Nguyên hàm kèm ví dụ minh họa
Công thức nguyên hàm đã được cập nhật, mời bạn đọc cùng tham khảo chủ đề thú vị này.
Mục lục bài viết
Tất cả công thức nguyên hàm dưới đây hy vọng sẽ đọng lại dù ít hay nhiều trong trí nhớ của bạn thông qua một số bài tập được đội ngũ chúng mình minh họa. Mong bạn luôn ôn lại thật kỹ dạng bài nguyên hàm và có thể biết cách áp dụng chúng để chinh phục các dạng bài tập.
1. Công thức nhập môn và nâng cao
Nguyên hàm Các loại hàm cơ bản
1. \(\int\) k dx = kx + C ( với k là hằng số )
2. \(\int\) x^n dx = \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\) + c ( với n \(\neq\) -1 )
3. \(\int\)1/x dx = Ln |x| + C
4. \(\int\) e^x dx = e^x + C
5. \(\int\) a^x dx = \(\frac{a^{x}}{\ln a}\) + c ( với a > 0 và a \(\neq\) 1)
Nguyên hàm Các hàm lượng giác
1. \(\int\) sinx dx = - cos x + C
2. \(\int\) cosx dx = sin x + C
3. \(\int\) tanx dx = - Lnx | cosx | + C = Ln | secx| + c
4. \(\int\) cotx dx = Ln |sinx| + C
5. \(\int\) secx dx= Ln |secx + tanx | + C
6. \(\int\) csc x dx = - Ln | cscx + cotx | + C
Nguyên hàm Các hàm lượng giác nghịch đảo
1. \(\int\) sec^2 x dx = tanx + C
2. \(\int\) csc^2 x dx = -cotx + C
3. \(\int\)sec x tanx dx = secx + C
4. \(\int\) csc x cotx dx = - csc x + C
Nguyên hàm Các hàm số phức tạp hơn
1. \(\int\) \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)dx = arcsin(x/a) + C ( với a >0 )
2. \(\int\) \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\)dx = ln ( x + \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\) ) + C
3. \(\int\) \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)dx = 1/2a. ln\(\left|\frac{a+x}{a-x}\right|\) + C ( vơi a >0 )
4. \(\int\) \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)dx = 1/2a ln \(\left|\frac{x-a}{x+a}\right|\) + C
5. \(\int\) \(\frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}\)dx = 1/a. arctan(x/a) + C
Nguyên hàm các hàm số đặc biệt
1. \(\int\) lnx dx = xlnx -x + C
2. \(\int\) arcsinx dx= x arcsinx+ \(\sqrt{1-x^{2}}\) + C
3. \(\int\) arccosx dx = x arccosx - \(\sqrt{1-x^{2}}\) + C
4. \(\int\) arctanx dx = x arctanx - 1/2.ln (1+x^2) + C
5. \(\int\) arcsinx dx = x arcsinx - \(\sqrt{x^{2}+1}\) + C
6. \(\int\) arccosx dx = x arccosx - \(\sqrt{x^{2}-1}\) + C
2. Phân loại cách tiếp cận
Dạng : Đổi biến hàm số vô tỉ ( Đặt t = hàm theo biến x )
Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản
Nguyên hàm \(\int\)f(x) dx trong đó f(x) = \(\sqrt[n]{g(x)}\) => t^n = g(x)
=> \(n t^{n-1}\) dt = g'(x)dx.
Khi đó \(\int\)f(x)dx = \(\int\)h(t)dt
Mẫu 2: Nguyên hàm dạng \(\int\)f(a^x)dx
Ta đặt t =a^x => dt = a^x lna dx
=> dx = \(\frac{d t}{t \cdot \ln a}\)=> \(\int\)f(a^x) = \(\int\) \(\frac{f(t) \cdot d t}{t \cdot \ln a}\).
Mẫu 3: Nguyên hàm dạng \(\int \frac{f(\ln x) d x}{x}\)
Ta đặt t =lnx => dt = 1/x dx.
Khi đó \(\int\)\(\frac{f(\ln x) d x}{x}\) = \(\int\)f(t) dt
Dạng: Đổi biến hàm số vô tỉ ( Đặt x = hàm theo biến t )
Mẫu 1: Nếu f(x) có chưa ta đặt x = a sint ( t \(\left.\in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\right)\)
=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=a \cos t d t \\ \sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} t}=|a| \cos t\end{array}\right.\)
Một số ví dụ cụ thể:
Tính một số nguyên hàm sau :
a) I1 = \(\frac{d x}{x^{2}+1}\); (a=1)
b) I2 = \(\sqrt{x^{2}+2 x+5}\)
Giải:
a) Đặt x = tanx --> dx= d(tant)
= \(\frac{d t}{\cos ^{2} t}\) = ( 1 + tant^2) dt
1+ x^2 = 1+ tant^2
=> I1 = \(\int\) \(\frac{\left(1+\tan ^{2} t\right) d t}{1+\tan ^{2} t}\) = \(\int\)dt = t + C
Từ giả thiết ta đặt x = tant
<=> arctanx -> I1 = arctan x + C
b, Ta có I\(\frac{d(\sin u)}{1-\sin u}\)2 = \(\int\)\(\sqrt{x^{2}+2 x+5}\) dx
= \(\int\)\(\sqrt{(x+1)^{2}+4}\)d(x+1) \(\xrightarrow{t=x+1}\) I =\(\int\) \(\sqrt{t^{2}+4}\) dt
Đặt t = 2tan u \(\left\{\begin{array}{l}d t=d(2 \tan u)=\frac{2 d u}{\cos ^{2} u} \\ \sqrt{4+t^{2}}=\sqrt{4+4 \tan ^{2} u}=\frac{2}{\cos u}\end{array} \longrightarrow\right.\)
I2 = \(\int\)\(\frac{2 d u}{\frac{2}{\cos u} \cdot \cos ^{2} u}\) = \(\int\)du/cos u
=\(\int\) cosu du / cosu^2
=\(\int\)\(\frac{d(\sin u)}{1-\sin ^{2} u}\) = 1/2 \(\int\)\(\frac{(1+\sin u)+(1-\sin u)}{(1+\sin u)(1-\sin u)}\)d(sinu)
= 1/2\(\int\)\(\frac{d(\sin u)}{1-\sin u}\) + 1/2\(\int\)\(\frac{d(\sin u)}{1+\sin u}\)
= 1/2\(\ln \left|\frac{1+\sin u}{1-\sin u}\right|\) + C.
Từ phép đặt t = 2tan u <=> tanu = t/2
=> \(\frac{1}{\cos ^{2} u}\) = 1+ t^2/4 => sinu^2 = 1- Cosu^2
= 1 - 4 / 4-t^2 = t^2 / 4 + t^2
Từ đó ta có được I2 = 1/2. Ln\(\left|\frac{1+\sin u}{1-\sin u}\right|\) + C
= 1/2. Ln \(\left|\frac{1+\frac{t}{\sqrt{4+t^{2}}}}{1-\frac{t}{\sqrt{4+t^{2}}}}\right|\) + C
= 1/2. Ln \(\left|\frac{1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}}{1-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}}\right|\) + C.
3. Bài tập tự luyện
Ví dụ: Cho nguyên hàm I = \(\int\)x^2. \(\sqrt{1-x^{2}}\)dx. Bằng cách đặt x
= sin t ( t \(\in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)) mệnh đề nào sau đây là đúng ?
A. I = \(\int\)( 1 - cos4t ) dt
B. I = \(\int\)( 1+ cos4t ) dt
C. t/8 - sin4t/32 + C
D. t/8 + sin4t/32 + C
Lời giải:
Ta có : x = sin t ( t \(\in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\))
=> dx = costdt ;
\(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2} t}=|\cos t|=\cos t\)
Khi đó I = \(\int\)sint^2 . Cost^2 dt = \(\int\)1/4 \(\sin ^{2} 2 t\)dt
= \(\int\)1/8. ( 1- Cos4t)dt => I = t/8 - sin4t/32 + C
Vậy đáp án là C
Ví dụ : Tính nguyên hàm I = \(\int\)\(\frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)
A. I = arcsin (x/2) + C
B. I = x + C
C. I = arccos(x/2) + C
D. I = arcsinx + C
Lời giải:
Đặt x = 2sint ( t \(\in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\))
= > \(\left\{\begin{array}{l}d x=2 \cos t d t \\ \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-\sin ^{2} t}=2|\cos t|=2 \cos t\end{array}\right.\)
Khi đó I = \(\int\)\(\frac{2 \cos t d t}{2 \cos t}\)= \(\int\)dt = t + C = arcsin(x/2) + C
Chọn A.
Tổng quát: \(\int\)\(\frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) = arcsin(x/a) + C ( a>0)
Mẹo vặt đến từ nhà Examon
Chắc hẳn khi đọc đến đây bạn đã cảm thấy rất bối rối bởi vì nhưng công thức nhọc nhằn như trên cùng bài tập đau đầu đúng không nào.
Hãy để chúng mình mách cho bạn những cách hay để thuận tiện cho việc ghi nhớ nhé:
- Hiểu rõ bản chất của công thức:
Để làm được điều này đầu tiên hãy xem lại những tài liệu về công thức nguyên hàm cơ bản, các khái niệm, định nghĩa, tính chất mà Examon cũng đã có chia sẻ đến các bạn.
Trước khi cố gắng nhớ công thức nguyên hàm ở tài liệu này bạn hãy chắc chắn rằng bạn đã hiểu rõ ý nghĩa và cách sử dụng của công thức. Tránh hiểu sai hiểu chưa tới và hiểu sâu sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn nữa đó.
- Sử dụng sơ đồ tư duy:
Hay được gọi là mind map giúp bạn tổ chức thông tin một cách hệ thống, dễ nhín và dễ nhớ hơn. Vẽ sơ đồ kết nối các công thức với nhau và với các khái niệm liên quan.
Ngày nay có nhiều phần mềm có thể giúp bạn làm điều này một cách dễ dàng chẳng hạn như Xmind,..
- Phân chia thành từng phần nhỏ:
Chia công thức thành các phần nhỏ và ghi nhớ từng phần một. Hoặc có thể mỗi ngày học một công thức. Khi đã nhớ được các phần nhỏ, bạn sẽ dễ dàng ghép lại thành công công thức hoàn chỉnh.
- Sử dụng quy tắc mnemonics
Tạo các câu chuyện, câu thơ hoặc hình ảnh giúp bạn liên tưởng đến các thành phần của công thức. Ví dụ, nhớ các bước của một quy trình hóa học bằng cách tạo ra một câu chuyện hài hước hoặc có ý nghĩa với bạn để gần gũi dễ học hơn nhé.
- Luyện tập thường xuyên
Luyện tập là cách tốt nhất để ghi nhớ. Hãy viết lại công thức nhiều lần, áp dụng vào các bài tập và tình huống thực tế.
Ôn luyện nhanh cùng Examon
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện để hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!