ĐẠO HÀM - BẢNG CÔNG THỨC VÀ BÀI TẬP

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hứu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

Đại lượng \(\Delta x=x-x_{0}\) : gọi là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

Đại lượng \(\Delta y=f(x)-f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\) : gọi là số gia của hàm số.

• Tính đạo hàm bằng định nghĩnghĩa

- Giả sử \(\Delta x=x-x_{0}\) là số gia của biến số tại \(x_{0}\).

         Ta tính số gia của hàm số \(\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)\).

- Lập ti số \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

- Tính 

• Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

PHƯƠG PHÁP:

- Cần nhớ công thức: 

- Phương pháp tính giới hạn của hàm số

VÍ DỤ MINH HỌA:

Ví dụ 1. Cho hàm số \(f(x)=2 x^{2}+x+1\). Tính \(f^{\prime}(2)\) ?

Lời giải

Ta có 

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=x^{3}-2 x+1\). Tính \(y^{\prime}(2)\) ?

Lời giải

Ta có 

.

Quy tắc tính đạo hàm

(1) \((u+v-w)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}-w^{\prime}\)

(2)\((u . v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)

(3) \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}\)

(4) \((k u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}(k \in \mathbb{R})\)

Đạo hàm sơ cấp:

\(\begin{array}{l}+(C)^{\prime}=0(C \in \mathbb{R}) \\ +\left(x^{*}\right)^{\prime}=n \cdot x^{n-1} \quad\left(n \in \mathbb{N}^{*}\right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}+(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}(x\gt 0) \\ +\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}(x \neq 0)\end{array}\)

Đạo hàm hàm hợp:

\(\cdot\) \(\left(u^{e}\right)^{\prime} n \cdot u^{n-1} \cdot u^{\prime}\left(n \in \mathbb{N}^{+}\right)\)

\(\begin{array}{l}(\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}(u\gt 0) \\ \left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}(u \neq 0)\end{array}\)

Các công thức tính nhanh:

\(\begin{array}{l}+\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^{2}} \\ +\left(\frac{a x^{2}+b x+c}{d x+e}\right)^{\prime}=\frac{a d x^{2}+2 a e x+(b e-c d)}{(d x+e)^{2}} \\ +\left(\frac{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}\right)^{\prime}=\frac{\left|\begin{array}{cc}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right| x^{2}+2\left|\begin{array}{ll}a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2}\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2}\end{array}\right|}{\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right)^{2}}\end{array}\)

PHƯƠNG PHÁP:

- Tính \(y^{\prime}\).

\(-\) Dùng các kiến thức đã học để rút gọn, biến đồi về phương trinh hoặc bất phương trình đã biết cách giảgiải như phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba (sử dụng máy tính cầm tay).

- Đối vơi bải toán chưmg minh bất đẵng thức thi ta biến đồi vế phức tạp thành vế đơn giản hoặc biến đồi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.

Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

Cho phưong trình \(a x^{2}+b x+c=0\left({ }^{*}\right)\) vói \(a \neq 0\).

1. Nếu phurơng trình (*) có hai nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thi \(\left\{\begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}\end{array}\right.\).

2. Phương trình \(\left.{ }^{*}{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm trái dấu khi và chi khi \(a c\lt 0\).

3. Phương trinh (*) có hai nghiệm durơng phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta\gt 0 \\ S=-\frac{b}{a}>0 \text {. } \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\)

4. Phưong trình \(\left.{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ S=-\frac{b}{a}\lt 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\).

Một số bài toán về bất phương trình bậc hai thường gặp.

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a x^{2}+b x+c=0\) vói \(a \neq 0\).

1. \(f(x)\gt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).

2. \(f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).

3. \(f(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).

4. \(f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}\). Chúmg minh rằng \(2 y \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}} \sqrt{1+x^{2}}}=\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\).

Do đó: \(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=2 \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}=0\)

Vây \(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=3 x+\sqrt{10-x^{2}}\). Giai phương trình \(y^{\prime}=0\).

Điều kiện: \(-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}\left({ }^{*}\right)\). 

Ta có \(y^{\prime}=3-\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}}}\). 

Khi đó,

Vậy phương trình \(y^{\prime}=0\) có nghiệm duy nhất \(x=3\).!

Cần nhớ \(: \sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2} .\end{array}\right.\)

Ví dụ 3. Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+5 x-2}{x-1}\). Giai bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\).

Ta có \(y^{\prime}=\frac{x^{2}-2 x-3}{(x-1)^{2}}\). 

Điều kiện \(x \neq 1\left({ }^{*}\right)\). 

Khi đó \(y^{\prime}\lt 0 \Leftrightarrow x^{2}-2 x-3\lt 0 \Leftrightarrow-1\lt x\lt 3\).

Đối chiếu vói điều kiện (*), bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\) có tập nghiệm là \(S=(-1 ; 3) \backslash\{1\}\).

Vídụ 4. Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}\left(m^{2}-m-6\right) x^{3}-(m+2) x^{2}-4 x+m\). Tïm tham số \(m\) sao cho \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(f^{\prime}(x)=\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\).

- TH1: \(m^{2}-m-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=3\end{array}\right.\).

Nếu \(m=-2\) thì \(f^{\prime}(x)=-4\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=-2\) thóa mãn bài toán.

Nếu \(m=3\) thì \(f^{\prime}(x)=-10 x-4\lt 0\) là nhị thức bậc nhất nên \(f^{\prime}(x)\) không lón hơn 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=3\) không thóa mãn bài toán.

- TH2: \(m^{2}-m-6 \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \neq-2 \\ m \neq 3\end{array}\right.\). 

Khi đó: \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\lt 0, \forall x \in \mathrm{R}\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta^{\prime}\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ (m+2)^{2}+4\left(m^{2}-m-6\right)\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ 5 m^{2}-20\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-2\lt m\lt 3 \\ -2\lt m\lt 2\end{array} \Leftrightarrow-2\lt m\lt 2\right.\right.\right.\right.\).

Vậy, giá trị \(m\) cần tìm là \(-2 \leq m \leq 2\).

Bảng công thức đạo hàm lượng giác:

10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\)                                                \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)

11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\)                                            \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)

12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)            \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)

13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\)  \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)

14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)                                        \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)

16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\)                                          \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\)                                           \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)

VÍ DỤ MINH HỌA

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1. \(y=5 \sin x-3 \cos x\).            ĐS: \(y^{\prime}=5 \cos x+3 \sin x\).

2. \(y=x-\frac{9}{x}+\frac{2}{x^{4}+6 x^{3}-1}\).        ĐS: \(y=1+\frac{9}{x^{2}}-\frac{2\left(4 x^{3}+18 x^{2}\right)}{\left(x^{4}+6 x^{3}-1\right)^{2}}\).

3. \(y=\cos ^{2} 5 x\).                          ĐS: \(y^{\prime}=-5 \sin 10 x\).

4. \(y=\tan ^{3}\left(5 x+\frac{\pi}{3}\right)\).             ĐS: \(y=15 \cdot \tan ^{2}\left(5 x+\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{\cos ^{2}\left(5 x+\frac{\pi}{3}\right)}\).

PHƯƠNG PHÁP:

- Tính đạo hàm của hàm số đã cho

- Thay \(y, y^{\prime}\) vào biểu thức để biến đổi chứng minh hoặc giải phương trìntrình liên quan.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\tan x\). Chưng minh \(y^{\prime}-y^{2}-1=0\).

Điều kiện xác định của hàm số là \(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in Z\)

Ta có \(y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)

Khi đó \(y^{\prime}-y^{2}-1=1+\tan ^{2} x-\tan ^{2} x-1=0\)(đpcm)

Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=\sin 2 x-2 \cos x\). Giai phương trình \(f^{\prime}(x)=0\).

Ta có \(f^{\prime}(x)=2 \cos 2 x+2 \sin x\).

Khi đó \(f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 2 \cos 2 x+2 \sin x=0 \Leftrightarrow-2 \sin ^{2} x+\sin x+1=0\)

Vạy phương trình \(f^{\prime}(x)=0\) có các nghiệm \(x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, x=-\frac{\pi}{6}+k 2 \pi, x=\frac{7 \pi}{6}+k 2 \pi\) vơi \(k \in Z\).