Ứng dụng Đạo hàm trong thực tế

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a ; b)\) và \(x_{0} \in(a ; b)\).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_{0}\) và kí hiệu là \(f^{\prime}\left(x_{0}\right)\) (hoặc \(y^{\prime}\left(x_{0}\right)\) ), tức là

Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.

Ta có:

1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\)              \(k\) là hằng số;

2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\)         Đạo hàm của một tống;

3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\)       Đạo hàm của một tích;

4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\)   Đạo hàm của một thương.

Trong hình học, Đạo hàm hỗ trợ về việc tính toán các đường cong và phương trình tiếp tuyến.

Trong lĩnh vực vật lý, đạo hàm được dùng tính toán vận tốc, gia tốc tức thời, cường độ dòng điện tức thời,...... Đạo hàm cho biết tốc độ thay đổi của một hàm số tại mỗi điểm. 

Trong kinh tế học, đạo hàm được sử dụng để tối ưu hóa hàm lợi nhuận và tìm ra điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Chúng có thể giúp ta tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số. Từ đó giúp tối ưu hóa các vấn đề thực tế như tối ưu hóa chi phí, tối ưu hóa hiệu suất, v.v.

Bài toán 1. Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là \(a^{\prime} b\) với \(a\lt b\). Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp đó có thể tích lớn nhất ?

Phân tích:

- Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặ̆t x chính là cạnh của hình vuông cắt đi. Nhe vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn cuia biến số \(\mathrm{x}\). Do khi đó I cạnh của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành \(\mathrm{a}-2 \mathrm{x}\gt 0 \Rightarrow \mathrm{x}\lt \frac{\mathrm{a}}{2}\) nên ta có \(0\lt \mathrm{x}\lt \frac{\mathrm{a}}{2}\).

- Và đồng thời ta cũng có đurơc cạnh cuia tấm nhôm còn lại là \(\mathrm{b}-2 \mathrm{x}\gt 0\). Đến đây ta cần thiết lập công thức tinh thể tich khối hôp \(V=x(a-2 x)(b-2 x)\)

- Bài toán trở thành tìm \(\max _{x \in\left(0 ; \frac{a}{2}\right)} V(x)=?\) Mời bạn đọc xem lời giải.

Huớng dẫn giải.

- Gọi \(x\) là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện \(0\lt x\lt \frac{a}{2}\).

Khi đó thể tích hình hộp là \(V=x(a-2 x)(b-2 x)=4 x^{3}-2(a+b) x^{2}+a b x=V(x)\).

- Bài toán trở thành tìm \(\max _{x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)} V(x)=\) ?

Đạo hàm \(V^{\prime}=f^{\prime}(x)=12 x^{2}-4(a+b) x+a b\).

Ta có \(\Delta^{\prime}=4(a+b)^{2}-12 a b=4\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)\gt 0\) với mọi \(a, b\).

Do đó \(V^{\prime}=0\) luôn có hai nghiệm phân biệt

suy ra \(0\lt x_{1}\lt x_{2}\).

Hơn nữa, ta có \(V^{\prime}\left(\frac{a}{2}\right)=f^{\prime}\left(\frac{a}{2}\right)=a^{2}-a b=a(a-b)\lt 0\). Do đó \(0\lt x_{1}\lt \frac{a}{2}\lt x_{2}\).

Bảng biến thiên

- Dự vào bảng biến thiên ta thấy \(V\) đạt giá trị lớn nhất khi

Bài toán 2. Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(V\left(\mathrm{~m}^{3}\right)\) không đổi, hệ số \(k\gt 0\) cho trước ( \(k\) là tỉ số giứa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy. Hãy xác định các kích thước của đáy để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?

Phân tích:

- Với thể tich V cho trước và quan hệ giữa chiều rông cuia đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến.

- Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán "tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì ?" Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tich nhỏ nhất hay diện tích toàn phần cuia khối hộp nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(x, y(0\lt x\lt y)\) lần lượt là chiều rộng và chiều dài của đáy hố ga.

Gọi \(h\) là chiều cao của hố ga \((h\gt 0)\).

- Theo đề bài ta có \(h=k x\) và \(V=h x y \Rightarrow y=\frac{V}{h x}=\frac{V}{k x^{2}}\)

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kich thước sao cho diện tích toàn phần của hố ga là nhô nhất.

Khi đó ta có: \(S_{t p}=2 x h+2 y h+2 x y=2 x(k x)+2(k x) \cdot \frac{V}{k x^{2}}+2 x \frac{V}{k x^{2}}\)

Suy ra \(S_{t p}=2 k x^{2}+\frac{2\left(\frac{k+1}{k}\right) V}{x}\) Xét hàm số \(f(x)=2 k x^{2}+\frac{2\left(\frac{k+1}{k}\right) V}{x}\).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) với \(x\gt 0\).

Lập bảng biến thiên ta có

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\min _{x>0} f(x)=f\left(\sqrt[3]{\frac{(k+1) V}{2 k^{2}}}\right)\).

Khi đó \(y=\sqrt[3]{\frac{4 k V}{(k+1)^{2}}}\) và \(h=\sqrt[3]{\frac{k(k+1) V}{2}}\).

Bài toán 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t)=6 t^{2}-t^{3}-9 t+1, \mathrm{~s}\) tính theo mét, \(\mathrm{t}\) tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm \(\mathrm{t}\) mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. \(t=3\).

B. \(t=1\).

C. \(t=2\).

D. \(t=4\).

Phân tích:

- Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết \(\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\prime}(\mathrm{t})\). Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên \(\mathrm{t} \in[0 ; 5]\) thi ta chi cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.

Huớng dẫn giäi

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\max _{\mathrm{t} \in(0 ; 5)} \mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{v}(2)=3\).. Đáp án \(C\).

Bài toán 2. Một nguồn điện với suất điện động \(E\) và điện trở \(r\) được nối với một biến trờ \(R\) như hình vẽ. Với giá trị nào của biến trờ thì công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch sẽ đạt cực đại ?

A. \(r=R\).

B. \(r=2 R\).

C. \(r=3 R\).

D. \(r=4 R\).

Phân tích:

- Để làm đượđược dang toán này, trước tiên ta cần có kiến thúc về dòng điện 1 chiều đãa học ờ lớp duoơit: công suất tòa nhiệt trên toàn mạch sẽ là \(P=R I^{2}\) và đồng thời cuờng âộ dòng điện trong mach sẽ là \(I=\frac{E}{R+r}\).

- Đến đây ta thấy \(P\) có thể tính theo \(R\) và r. Và do đó ta có thể vận dụng kiến thúc về đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cùa biểu thúc P.

Hướng dẫn giải:

Theo công thức công suất tỏa nhiệt ta có \(P=R I^{2}\) với \(I=\frac{E}{R+r}\) 

\(\Rightarrow P=\frac{R E^{2}}{(R+r)^{2}}(R\gt 0)\). Xét hàm số \(f(R)=\frac{R E^{2}}{(R+r)^{2}}\) với \(R>0\) 

Ta tìm \(f^{\prime}(R)=E^{2} \frac{(R+r)^{2}-2 R(R+r)}{(R+r)^{4}}=E^{2} \frac{r-R}{(R+r)^{3}}, f^{\prime}(R)=0 \Leftrightarrow r=R\)

Lập bảng biến thiên ta có:

suy ra \(\max f(R)=f(r)=\frac{E^{2}}{4 r}\). Ta chọn đáp án A.

Bài toán 1. Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được \(N\) lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là \(x\) (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng \(N\) và \(x\) liên hệ với nhau bằng biểu thức \(N(x)=-x^{2}+30 x+6,0 \leq x \leq 30\). Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cao đó ?

Huớng dẫn giải.

Ta có: \(N(x)=-x^{2}+30 x+6 \Rightarrow N^{\prime}(x)=-2 x+30 \Rightarrow N^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=15\)Đồng thời \(\left\{\begin{array}{l}N(0)=6 \\ N(15)=231 \\ N(30)=6\end{array} \Rightarrow \max _{x \in[0 ; 30]} N(x)=231 \Leftrightarrow x=15\right.\).

Vậy, nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

Bài toán 2: Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bô lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ. 

Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 USD/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuât 400.000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy uớc tính số máy mà công ty nên dùng đề chi phí nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải 

Gọi \(x(1 \leq x \leq 20, x \in \square)\) là số máy sử dụng và \(C(x)\) là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.

Chi phí lắp đặt các máy là \(80 x\)

Chi phí vận hành các máy là \(\frac{400000}{200 x} \cdot 5,76\)

Tổng chi phí \(=\) Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành \(\Rightarrow C(x)=80 x+\frac{11520}{x}\)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C(x)\) với \(x \in[1 ; 20]\)

Ta có \(C^{\prime}(x)=80-\frac{11520}{x^{2}} \Rightarrow C^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=12(\mathrm{tm}) \\ x=-12(\mathrm{ktm})\end{array}\right.\)

Đồng thời \(\left\{\begin{array}{l}C(1)=11600 \\ C(20)=2176 \\ C(12)=1920\end{array} \Rightarrow \max _{x \in[1: 20]} C(x)=C(12)=1920 \Leftrightarrow x=12\right.\)

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.

Bài toán 1: (Ứng dụng trong Sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật \(N(t)=1000+\frac{100 t}{100+t^{2}}\) (con vi khuẩn), trong đó \(t\) là thời gian (đơn vị giây)). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ?

Phân tích:

- Tương tự như những bài toán truớc, do đề bài đã mô hình hóa bài toán durới dạng hàm nên ta chi cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất cuia vi khuẩn.

Huớng dẫn giải

Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm \(t\) là

Xét \(N^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t^{2}=100 \Leftrightarrow t=10>0\).

Lâp bảng biến thiên ta được:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận \(\max N(t)=N(10)=1005\).

Bài toán 2: (Ứng dụng trong Y Học). Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bời công thức \(G(x)=0,025 x^{2}(30-x)\) với \(x\) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( \(x:\) miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm?

Phân tích:

- Tương tự như những bài toán đã cho sã̃n hàm số, thì việc ứng dụng đạo hàm không còn quá khó khăn nữa.

Huớng dẫn giải.

Cho \(G^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=20 \\ x=0(k t m)\end{array}\right.\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\max G(x)=100 \Leftrightarrow x=20\).