Sáu dạng toán lượng giác thường gặp
Dưới đây Examon đã tổng hợp các dạng bài tập về công thức lượng giác thường gặp giúp các bạn học sinh tự tin vượt qua các bài thi.
Mục lục bài viết
Lượng giác là một dạng kiến thức toán lớp 11 thường có trong các kỳ thi quan trọng từ học kỳ, thi quốc gia, thi THPT. Vậy nên, việc ôn và giải các bài tập về lượng giác thường xuyên là giải pháp giúp học sinh đạt kết quả cao cho mình. Một trong những yếu tố quan trọng khi giải bài tập liên quan đến công thức lượng giác chính là nắm được những dạng toán thường gặp, để áp dụng đúng phương pháp giải chính xác hơn.
Vậy nên, nội dung bài viết sau đây Examon sẽ chia sẻ các dạng bài tập về công thức lượng giác lớp 11 có lời giải để mọi người cùng tham khảo và áp dụng nhé!

1.Dạng 1: Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi
1.1 Phương pháp giải
Để giải những bài toán về công thức cộng, nhân đôi lượng giác, ta sử dụng các công thức sau:
\(\begin{array}{l}\cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b \\ \cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b \\ \sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b \\ \sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b \\ \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b} \\ \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\sin 2 a=2 \sin a \cos a \\ \cos 2 a=\cos ^{2} a-\sin ^{2} a=2 \cos ^{2} a-1=1-2 \sin ^{2} a \\ \tan 2 a=\frac{2 \tan a}{1-\tan ^{2} a}\end{array}\)
Ngoài ra còn có thể sử dụng công thức nhân ba, nhân bốn.
1.2 Bài tập
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác sau:
a) \(\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)\) khi \(\sin \alpha=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\).
b) \(\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\) khi \(\sin \alpha=-\frac{12}{13}, \frac{3 \pi}{2}\lt \alpha\lt 2 \pi\).
Giải
a) Vi \(\frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) nên \(\cos \alpha\lt 0\).
Ta có: \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\).
Suy ra: \(\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=-\frac{4}{5} \Rightarrow \tan \alpha=-\frac{3}{4}\).
Vậy \(\tan \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{3}+\tan \alpha}{1-\tan \frac{\pi}{3} \tan \alpha}=\frac{48-25 \sqrt{3}}{11}\)
.b) Vì \(\frac{3 \pi}{2}\lt \alpha\lt 2 \pi\) nên \(\cos \alpha\gt 0\).
Ta có: \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\).
Suy ra: \(\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\frac{5}{13}\).
Vậy \(\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha+\sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha=\frac{5-12 \sqrt{3}}{26}\).
Bài 2:Tính giá trị của biểu thức sau:
\(H=\sin 5^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ} \cdot \sin 25^{\circ} \ldots \sin 75^{\circ} \cdot \sin 85^{\circ}\)
Giải
Тa có
\[\begin{aligned}H & =\sin 5^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ} \cdot \sin 25^{\circ} \ldots \sin 75^{\circ} \cdot \sin 85^{\circ} \\& =\sin 5^{\circ} \cdot \cos 5^{\circ} \cdot \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ} \cdot \sin 25^{\circ} \cdot \cos 25^{\circ} \cdot \sin 35^{\circ} \cdot \cos 35^{\circ} \cdot \sin 45^{\circ} \\& =\frac{\sqrt{2}}{32} \sin 10^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ} \\& =\frac{\sqrt{2}}{32 \cdot \cos 10^{\circ}} \cdot \cos 10^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} \\= & \frac{\sqrt{2}}{64 \cdot \cos 10^{\circ}} \cdot \sin 20^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 50^{\circ} \\& =\frac{\sqrt{2}}{256 \cdot \cos 10^{\circ}} \cdot \sin 40^{\circ} \cdot \cos 40^{\circ} \\& =\frac{\sqrt{2}}{512 \cdot \cos 10^{\circ}} \cdot \sin 80^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{512}\end{aligned}\]2.Dạng 2: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
2.1 Phương pháp giải
Để giải được các bài toán liên quan đến biến đổi tích thành tổng, ta sử dụng các công thức sau:
\(\left . \begin{matrix} \cos{a} \cos{b} = \frac{1}{2} \left[ \cos{\left( a - b \right )} + \cos{\left( a + b \right )} \right ] \\ \sin{a} \sin{b} = \frac{1}{2} \left[ \cos{\left( a - b \right )} - \cos{\left( a + b \right )} \right ] \\ \sin{a} \cos{b} = \frac{1}{2} \left[ \sin{\left( a - b \right )} + \sin{\left( a + b \right )} \right ] \end{matrix} \right .\)
2.2 Bài tập
Bài 1: Biến đổi thành tổng
a) \(2 \sin (a+b) \cos (a-b)\)
b) \(2 \cos (a+b) \cos (a-b)\)
c) \(4 \sin 3 x \sin 2 x \cos x\)
d) \(4 \sin \frac{13 x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}\)
Giải
a) \(2 \sin (a+b) \cos (a-b)=\sin 2 a+\sin 2 b\)
b) \(2 \cos (a+b) \cos (a-b)=\cos 2 a+\cos 2 b\)
c) \(4 \sin 3 x \sin 2 x \cos x=2 \sin 3 x(\sin 3 x+\sin x)\)
\(= 2 \sin^{2}{3} x + 2 \sin{3} x \sin{x}\)
\(=2 \sin ^{2} 3 x-\cos 4 x+\cos x\)
d) \(4 \sin \frac{13 x}{2} \cos x \cos \frac{x}{2}=2 \sin \frac{13 x}{2}\left(\cos \frac{3 x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)\)
\(=2 \sin \frac{13 x}{2} \cos \frac{3 x}{2}+2 \sin \frac{13 x}{2} \cos \frac{x}{2}\)
\(=\sin 8 x+\sin 5 x+\sin 7 x+\sin 6 x\).
3.Dạng 3: Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
3.1 Phương pháp giải
Với dạng này ta giải quyết bằng cách sử dụng các công thức
\(\begin{array}{l}\cos u+\cos v=2 \cos \frac{u+v}{2} \cos \frac{u-v}{2} \\ \cos u-\cos v=-2 \sin \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2} \\ \sin u+\sin v=2 \sin \frac{u+v}{2} \cos \frac{u-v}{2} \\ \sin u-\sin v=2 \cos \frac{u+v}{2} \sin \frac{u-v}{2}\end{array}\)
3.2 Bài tập
Bài 1: Biến đổi thành tích
a, \(A=2 \sin 4 x+\sqrt{2}\)
b, \(B=3-4 \cos ^{2} x\)
c, \(\mathrm{D}=\sin 2 x+\sin 4 x+\sin 6 x\)
Giải
a, \(A=2\left(\sin 4 x+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\sin 4 x+\sin \frac{\pi}{4}\right)\)
\(=4 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(2 x-\frac{\pi}{8}\right)\).
b,\(B=1-2 \cos 2 x=2\left(\frac{1}{2}-\cos 2 x\right)\)
\(=2\left(\cos \frac{\pi}{3}-\cos 2 x\right)=4 \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\).
c,\(D=\sin 2 x+\sin 6 x+\sin 4 x=2 \sin 4 x \cos 2 x+\sin 4 x\)
\(=\sin 4 x(2 \cos 2 x+1)\) \(=2 \sin 4 x\left(\cos 2 x+\cos \frac{\pi}{3}\right)\)
\(=4 \sin 4 x \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)\).
4.Dạng 4: Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn,chứng minh đẳng thức lượng giác
4.1 Phương pháp giải
Để làm tốt dạng toán rút gọn, ta cần nắm vững các công thức lượng giác đã học (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích), các giá trị lượng giác liên quan đến góc đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác để biến đổi biểu thức ban đầu về dạng đơn giản, rút gọn hơn.
Đối với bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác, ta có thể lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:
Cách 1: Dùng các công thức lượng giác, hệ thức lượng giác biến đổi vế này thành vế kia (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái).
Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết và luôn đúng.
Cách 3: Biến đổi đẳng thức đã biết luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh
4.2 Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác a làm cho biểu thức xác định thì \(\frac{1-\sin 2 \alpha}{1+\sin 2 \alpha}=\cot ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\)
\(\begin{array}{l}\text { Ta có } \frac{1-\sin 2 \alpha}{1+\sin 2 \alpha}=\frac{\sin ^{2} \alpha-2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^{2} \alpha} \\ =\frac{(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}}{(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}} \\ =\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha\right)^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha+\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha\right)^{2}} \\ =\frac{\left(\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha-\sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha\right)^{2}}{\left(\sin \alpha \cos \frac{\pi}{4}+\cos \alpha \sin \frac{\pi}{4}\right)^{2}} \\ =\frac{\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{\sin ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}=\cot ^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) .\end{array}\)
5.Dạng 5: Bài toán tam giác
6.1 Phương pháp giải
Qui ước: Cho tam giác \(A B C\) gọi \(a, b, c\) là ba cạnh đối diện của ba góc \(A, B, C ; h_{a}, h_{b}, h_{c}\) là ba đường cao; \(m_{a}, m_{b}, m_{c}\) là ba đường trung tuyến; \(l_{A}, l_{B}, l_{C}\) là ba đường phân giác; \(r\) là bán kính đường trong nội tiếp ; \(R\) là bán kính đường trong ngoại tiếp và \(p=\frac{a+b+c}{2}\) là nữa chu vi.Điều kiện \(A, B, C\) là ba góc của một tam giác là \(\left\{\begin{array}{l}A, B, C \\ A+B+C=\pi\end{array}\right.\) nên suy ra
\[A+B=\pi-C, \frac{A+B}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{C}{2} \cdots\]Định lý hàm số côsin \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A, \quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B\), \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C\)
Suy ra \(\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}, \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}, \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}\)
Định lý hàm số \(\sin : \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R\)
suy ra \(a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C\)
Công thưc tính diện tích \(S=\frac{1}{2} a h_{a}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{a b c}{4 R}=p r=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).
Công thức phân giác \(l_{A}=\frac{2 b c \cos \frac{A}{2}}{b+c}, \ldots\).
Công thức trung tuyến \(m_{a}^{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4}, \ldots\).
6.2 Bài tập
Bài 1: Tìm các góc của tam giác \(A B C\), biết:
a) \(B-C=\frac{\pi}{3}, \sin B \cdot \sin C=\frac{1}{2}\).
b) \(B+C=\frac{2 \pi}{3}, \sin B \cdot \cos C=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\).
giải
a) Ta có \(0\lt A, B, C\lt \pi\) và \(A+B+C=\pi \Rightarrow B+C=\pi-A\).
\(\sin B \cdot \sin C=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}[\cos (B-C)-\cos (B+C)]=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{3}-\cos (\pi-A)=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}+\cos A=1 \Leftrightarrow \cos A=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{\pi}{3}\) (vì \(0\lt A, B, C\lt \pi\) )
\(\Rightarrow B+C=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}\)
Khi đó ta có \(\left\{\begin{array}{l}B-C=\frac{\pi}{3} \\ B+C=\frac{2 \pi}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B=\frac{\pi}{2} \\ C=\frac{\pi}{6}\end{array}\right.\right.\).
Vậy \(A=\frac{\pi}{3}, B=\frac{\pi}{2}, C=\frac{\pi}{6}\).
b) Ta có \(0\lt A, B, C\lt \pi\) và \(A+B+C=\pi \Rightarrow B+C=\pi-A\).
\(\sin B \cdot \cos C=\frac{1+\sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{2}[\sin (B-C)+\sin (B+C)]=\frac{1+\sqrt{3}}{4}\)
\(\Leftrightarrow \sin (B-C)+\sin \frac{2 \pi}{3}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sin (B-C)+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin (B-C)=\frac{1}{2} \Rightarrow B-C=\frac{\pi}{6}\)
Khi đó ta có \(\left\{\begin{array}{l}B-C=\frac{\pi}{6} \\ B+C=\frac{2 \pi}{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B=\frac{5 \pi}{12} \\ C=\frac{\pi}{4}\end{array}\right.\right.\)
\[\Rightarrow A=\pi-B-C=\frac{\pi}{3}\]Vậy \(A=\frac{\pi}{3}, B=\frac{5 \pi}{12}, C=\frac{\pi}{4}\).
6.Dạng 6: Bài toán min-max
6.1 Phương pháp giải
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biêt.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả \(|\sin \alpha| \leq 1,|\cos \alpha| \leq 1\) với mọi số thực \(\alpha\)
6.2 Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng với \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) thì
a) \(2 \cot ^{2} \alpha \geq 1+\cos 2 \alpha\)
b) \(\cot \alpha \geq 1+\cot 2 \alpha\)
Giải
a) Bất đẳng thức tương đương với
\[\begin{array}{l}2\left(\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1\right) \geq 2 \cos ^{2} \alpha \Leftrightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1 \geq 1-\sin ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \alpha}+\sin ^{2} \alpha \geq 2 \Leftrightarrow \sin ^{4} \alpha-2 \sin ^{2} \alpha+1 \geq 0 \\\Leftrightarrow\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)^{2} \geq 0 \text { (đúng) ĐPCM. }\end{array}\]b) Bất đẳng thức tương đương với
\[\begin{array}{l}\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \geq \frac{\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha} \Leftrightarrow \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \geq \frac{\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha}\left({ }^{*}\right) \\\text { Ví } 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha\gt 0 \\\cos \alpha>0\end{array}\right. \text { nên } \\\left(^{*}\right) \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} \alpha \geq \sin 2 \alpha+\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow 1 \geq \sin 2 \alpha \text { (đúng) ĐPCM. }\end{array}\]7. Sơ đồ tóm gọn

8. Làm thế nào để học tốt ?
Trên đây là bài viết tổng hợp lại 6 dạng bài thường gặp về công thức lượng giác, tuy nhiên để có thể giải được các bài tập chính xác, đòi hỏi các bạn học sinh phải thực hành làm bài tập nhiều hơn và có phương pháp học đúng đắn. Kết hợp với việc nắm vững các công thức, quy tắc và các dạng toán thì chắc chắn lượng giác sẽ không còn là nỗi sợ làm khó bạn.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
Bài tập cuối chương I | 1 |
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh