Bài tập Đạo hàm từ cơ bản đến nâng cao

 Phương pháp tìm cực trị, khoảng tăng giảm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên tập xác định \(D\) (có thế trừ ra hữu hạn điểm). Đế khảo sát tính đơn điệu và tìm cưc trị của \(f(x)\) ta tiến hành các bước sau:

 Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\).

Bước 2. Tìm tất cả các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in D\).(điểm tới hạn là điểm mà tại đó \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\) không xác định)

Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm

Cách 1. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm \(f^{\prime}(x)\).

Cách 2. Dùng đạo hàm cấp 2- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\gt 0\end{array} \longrightarrow f\right.\) đạt cưc tiểu tại điểm \(x_{0}\).- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0\end{array} \Longrightarrow f\right.\) đạt cưc đại tại điểm \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\gt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) tăng (đồng biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\lt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) giảm (nghịch biến) trên khoảng đó.

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ âm sang durong khi \(x\) vươt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).

\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ duơng sang âm khi \(x\) vượt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).

• BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

\(\checkmark\) Bảng biến thiên

Vậy

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với

Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).

Bài giải

\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).

\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)

Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)

Vậy 

- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).

- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).

Phương pháp giải GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) rồi suy ra các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) của hàm số \(y=f(x)\) trên \([a, b]\).

Bước 2. Tính giá trị \(f(a), f(b), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots\)

Bước 3. So sánh tất cả các giá trị đó ta suy ra được GTLN & GTNN.

Chú ý

Để tìm GTLN và GTNN của \(y=f(x)\) trên các khoảng hay nửa khoảng ta cần phải lập bảng biến thiên.

• BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Ví dụ : Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).

Bài giải

Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).

Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)

Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)

và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).

PHƯƠNG PHÁP:

- Tính \(y^{\prime}\).

\(-\) Dùng các kiến thức đã học để rút gọn, biến đồi về phương trinh hoặc bất phương trình đã biết cách giảgiải như phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba (sử dụng máy tính cầm tay).

- Đối vơi bải toán chưmg minh bất đẵng thức thi ta biến đồi vế phức tạp thành vế đơn giản hoặc biến đồi cả hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian.

Một số bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

Cho phưong trình \(a x^{2}+b x+c=0\left({ }^{*}\right)\) vói \(a \neq 0\).

1. Nếu phurơng trình (*) có hai nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thi \(\left\{\begin{array}{l}S=x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} \\ P=x_{1} x_{2}=\frac{c}{a}\end{array}\right.\).

2. Phương trình \(\left.{ }^{*}{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm trái dấu khi và chi khi \(a c\lt 0\).

3. Phương trinh (*) có hai nghiệm durơng phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta\gt 0 \\ S=-\frac{b}{a}>0 \text {. } \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\)

4. Phưong trình \(\left.{ }^{*}\right)\) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chi khi \(\left\{\begin{array}{l}\Delta>0 \\ S=-\frac{b}{a}\lt 0 \\ P=\frac{c}{a}>0\end{array}\right.\).

Một số bài toán về bất phương trình bậc hai thường gặp.

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=a x^{2}+b x+c=0\) vói \(a \neq 0\).

1. \(f(x)\gt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).

2. \(f(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).

3. \(f(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta\lt 0\end{array}\right.\).

4. \(f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta \leq 0\end{array}\right.\).

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho hàm số \(y=\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}\). Chúmg minh rằng \(2 y \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).

Ta có: \(y^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}=\frac{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\prime}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}=\frac{x+\sqrt{1+x^{2}}}{2 \sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}} \sqrt{1+x^{2}}}=\frac{\sqrt{x+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\).

Do đó: \(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=2 \frac{\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}-\sqrt{1+\sqrt{1+x^{2}}}=0\)

Vây \(2 y^{\prime} \cdot \sqrt{1+x^{2}}-y=0\).

Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=3 x+\sqrt{10-x^{2}}\). Giai phương trình \(y^{\prime}=0\).

Điều kiện: \(-\sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}\left({ }^{*}\right)\). 

Ta có \(y^{\prime}=3-\frac{x}{\sqrt{10-x^{2}}}\). 

Khi đó,

Vậy phương trình \(y^{\prime}=0\) có nghiệm duy nhất \(x=3\).!

Cần nhớ \(: \sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2} .\end{array}\right.\)

Ví dụ 3. Cho hàm số \(y=\frac{x^{2}+5 x-2}{x-1}\). Giai bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\).

Ta có \(y^{\prime}=\frac{x^{2}-2 x-3}{(x-1)^{2}}\). 

Điều kiện \(x \neq 1\left({ }^{*}\right)\). 

Khi đó \(y^{\prime}\lt 0 \Leftrightarrow x^{2}-2 x-3\lt 0 \Leftrightarrow-1\lt x\lt 3\).

Đối chiếu vói điều kiện (*), bất phương trinh \(y^{\prime}\lt 0\) có tập nghiệm là \(S=(-1 ; 3) \backslash\{1\}\).

Vídụ 4. Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{3}\left(m^{2}-m-6\right) x^{3}-(m+2) x^{2}-4 x+m\). Tïm tham số \(m\) sao cho \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có \(f^{\prime}(x)=\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\).

- TH1: \(m^{2}-m-6=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=3\end{array}\right.\).

Nếu \(m=-2\) thì \(f^{\prime}(x)=-4\lt 0, \forall x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=-2\) thóa mãn bài toán.

Nếu \(m=3\) thì \(f^{\prime}(x)=-10 x-4\lt 0\) là nhị thức bậc nhất nên \(f^{\prime}(x)\) không lón hơn 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Do đó, \(m=3\) không thóa mãn bài toán.

- TH2: \(m^{2}-m-6 \neq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m \neq-2 \\ m \neq 3\end{array}\right.\). 

Khi đó: \(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left(m^{2}-m-6\right) x^{2}-2(m+2) x-4\lt 0, \forall x \in \mathrm{R}\)\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 0 \\ \Delta^{\prime}\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ (m+2)^{2}+4\left(m^{2}-m-6\right)\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^{2}-m-6\lt 0 \\ 5 m^{2}-20\lt 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-2\lt m\lt 3 \\ -2\lt m\lt 2\end{array} \Leftrightarrow-2\lt m\lt 2\right.\right.\right.\right.\).

Vậy, giá trị \(m\) cần tìm là \(-2 \leq m \leq 2\).

Phương pháp

\(\checkmark\) Tính đạo hàm \(f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x), f^{(0)}(x)\).

\(\checkmark\) Dự đoán công thức đạo hàm cấp n của hàm số

\(\checkmark\)Chứng minh công thức dự đoán bằng quy nạp toán học

Vi dụ: Cho hàm số y \(=\) sinx, dự đoán công thức  \(y^{(\mathrm{n})}(\mathrm{x})\) bằng :

A. \(y^{(n)}=\sin (x+n \pi)\).

B. \(y^{(n)}=\cos (x+n \pi)\).

C. \(y^{(n)}=\sin \left(x+z \frac{\pi}{2}\right)\).

D. \(y^{(n)}=\cos \left(x-n \cdot \frac{\pi}{2}\right)\).

Huờng dẫn giải

Ta chứng minh bằng quy nạp. 

Với \(n=1\), ta c \(y^{\prime}=\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\) đúng.

Giả sử công thức đúng với \(n=k\), tức là \(y^{(k)}-\sin \left(x+k \frac{\pi}{2}\right)\).

Ta ta chứng minh công thức đúng với  \(\mathrm{n}=\mathrm{k}+1\), tức là chứng minh\(y^{(k+1)}=\operatorname{tin}\left(x+(k+1) \frac{\pi}{2}\right)\), Thật vậy, 

\(y^{(k-k)}=\left[y^{(k)}\right]=\left[\sin \left(x+k \frac{\pi}{2}\right)\right]\)

=  \(\cos \left(x+k \frac{\pi}{2}\right)\)

= \(\sin \left(x+k \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)

= \(\sin \left(x+(k+1) \frac{\pi}{2}\right)\)

Vậy ta được  \(y^{(\pi)}=\sin \left(x+n \frac{\pi}{2}\right)\)

Bài toán 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t)=6 t^{2}-t^{3}-9 t+1, \mathrm{~s}\) tính theo mét, \(\mathrm{t}\) tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm \(\mathrm{t}\) mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. \(t=3\).

B. \(t=1\).

C. \(t=2\).

D. \(t=4\).

Phân tích:

- Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết \(\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\prime}(\mathrm{t})\). Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên \(\mathrm{t} \in[0 ; 5]\) thi ta chi cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.

Huớng dẫn giäi

Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\max _{\mathrm{t} \in(0 ; 5)} \mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{v}(2)=3\).. Đáp án \(C\).

Bài toán 2: Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bô lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ. 

Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 USD/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuât 400.000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy uớc tính số máy mà công ty nên dùng đề chi phí nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải 

Gọi \(x(1 \leq x \leq 20, x \in \square)\) là số máy sử dụng và \(C(x)\) là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.

Chi phí lắp đặt các máy là \(80 x\)

Chi phí vận hành các máy là \(\frac{400000}{200 x} \cdot 5,76\)

Tổng chi phí \(=\) Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành \(\Rightarrow C(x)=80 x+\frac{11520}{x}\)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C(x)\) với \(x \in[1 ; 20]\)

Ta có \(C^{\prime}(x)=80-\frac{11520}{x^{2}} \Rightarrow C^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=12(\mathrm{tm}) \\ x=-12(\mathrm{ktm})\end{array}\right.\)

Đồng thời \(\left\{\begin{array}{l}C(1)=11600 \\ C(20)=2176 \\ C(12)=1920\end{array} \Rightarrow \max _{x \in[1: 20]} C(x)=C(12)=1920 \Leftrightarrow x=12\right.\)

Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.