Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân
Dạng viết số hạng tổng quát cấp số nhân là một phần quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi ta bước vào thế giới của các dãy số và chuỗi số
Mục lục bài viết
Dạng viết số hạng tổng quát cấp số nhân là một phần quan trọng trong toán học, đặc biệt là khi ta bước vào thế giới của các dãy số và chuỗi số. Số hạng tổng quát cấp số nhân là gì ? Trước khi chúng ta khám phá sâu hơn vào vấn đề này, hãy tưởng tượng rằng bạn đang đi trên một con đường dài với các bước nhảy đều nhau. Mỗi bước bạn đi là một số hạng trong cấp số nhân.
Nhưng làm thế nào để biết được bước tiếp theo sẽ là bao nhiêu? Đó chính là câu hỏi mà Examon cùng bạn sẽ cùng tìm hiểu trong bài viết này.
1. Lý thuyết cần nhớ
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:
\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n}=u_{n-1} \cdot q\)
Trong đó : q là công bội của cấp số nhân
2. Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân
Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\) thì ta có số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}, \forall n\gt 1\).
Trong đó,
\(u_{n}\) : số hạng tổng quát
\(u_{1}\) : số hạng đầu tiên
\(q\) : công bội
\(n\) : số số hạng
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài tập 1: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=4\) và \(u_{2}= 8\). Xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân.
Lời giải
Ta có: \(\mathrm{q}=\frac{\mathrm{u}_{2}}{\mathrm{u}_{1}}=\frac{8}{4}=2\)
Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}=4 \cdot2^{n-1}\)
3.2. Bài tập 2
Bài tập 2: Cho cấp số nhân \(\left(\mathrm{u}_{n}\right)\) với \(\mathrm{u}_{2}=\frac{1}{3} ; \mathrm{u}_{5}=9\).
a) Tìm \(u_{1}\) và công bội \(d\).
b) Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân.
Lời giải
a) Ta có:
\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } } \\{ u _ { 5 } = 9 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q = \frac { 1 } {3 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 4 } =9 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { q ^ { 3 } = 27 = 3 ^ { 3 } } \\{ u _ { 1 } q = \frac { 1 } { 3} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=3 \\u_{1}=\frac{1}{9}\end{array}\right.\right.\right.\right.\]Vậy \(\mathrm{u}_{1}=\frac{1}{9} ; \mathrm{q}=3\).
b) Số hạng tổng quát: \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_{1} \mathrm{q}^{\mathrm{n}-1}=\frac{1}{9} \cdot 3^{\mathrm{n}-1}=3^{\mathrm{n}-3}\)
3.3. Bài tập 3
Bài tập 3: Tìm số hạng tổng quát \(u_{\mathrm{n}}\) của dãy \(\left(u_{\mathrm{n}}\right)\) được xác định:
\(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=6 \\ u_{n+1}=3 u_{n}+5.3^{n}\end{array}\right.\).
Lời giải
Ta thấy \(a=\beta=3\) nên ta đặt \(v_{\mathrm{n}}=u_{\mathrm{n}}+\) \(An\). \(3^{\mathrm{n}}\) với \(v_{\mathrm{n}+1}=3 v_{\mathrm{n}}\).
Với \(v_{n+1}=3 v_{n} \Leftrightarrow u_{n+1}+A(n+1) 3^{n+1}=3\left(u_{n}+A n .3^{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow 3 u_{\mathrm{n}}+5.3^{\mathrm{n}}+\mathrm{A}(\mathrm{n}+1) 3^{\mathrm{n}+1}=3\left(u_{\mathrm{n}}+\mathrm{An} \cdot 3^{\mathrm{n}}\right)\)
\(\Leftrightarrow 5.3^{\mathrm{n}}+\mathrm{A}(\mathrm{n}+1) 3^{\mathrm{n}+1}=3 \mathrm{An} .3^{\mathrm{n}}\)\(\Leftrightarrow 5+3 A(n+1)=3 A n\)
Suy ra : \(\mathrm{A}=-\frac{5}{3}\).
Ta được : \(v_{\mathrm{n}}=u_{\mathrm{n}}-\frac{5}{3} \mathrm{n} \cdot 3^{\mathrm{n}} \Leftrightarrow u_{\mathrm{n}}=v_{\mathrm{n}}+\frac{5}{3} \mathrm{n} \cdot 3^{\mathrm{n}}\).
Khi đó \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=6 \\ u_{n+1}=3 u_{n}+5 \cdot 3^{n}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}v_{1}=1 \\ v_{n+1}=3 v_{n}\end{array}\right.\right.\).
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được \(v_{n}=3^{n-1}\).
Vậy ta được \(u_{n}=3^{n-1}+\frac{5}{3} n \cdot 3^{n}=(1+5 n) 3^{n-1}\).
4. Học hiệu quả với Examon
Như vậy, việc hiểu rõ về số hạng tổng quát trong cấp số nhân không chỉ giúp chúng ta dễ dàng dự đoán được các phần tử tiếp theo trong dãy số mà còn mở ra một cánh cửa để chúng ta khám phá sâu hơn về tính chất và ứng dụng của cấp số nhân trong thực tế. Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn sẽ có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về vấn đề này, từ đó củng cố và phát triển kỹ năng toán học của mình một cách hiệu quả.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [CẤP SỐ NHÂN]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
