Xác định các yếu tố của một cấp số nhân
Hạ gục "kẻ thù" cấp số nhân: Vũ khí bí mật trong tay bạn! Cùng Examon thực hành ngay.
Mục lục bài viết
Giữa muôn vàn dãy số như những vì sao lấp lánh trên bầu trời tri thức, cấp số nhân tựa như một bản tình ca say đắm lòng người, ẩn chứa những quy luật chặt chẽ và vẻ đẹp thanh tao.
Hôm nay, hãy cùng Examon dạo bước vào khu vườn toán học đầy mê hoặc này, để khám phá những bí ẩn ẩn giấu sau những con số tưởng chừng vô nghĩa, để đắm chìm trong giai điệu du dương của cấp số nhân và say mê trước vẻ đẹp hài hòa của nó.
Hãy tưởng tượng một dãy số như một chuỗi âm thanh du dương, mỗi con số là một nốt nhạc, đan xen nhịp nhàng theo một quy luật nhất định. Cấp số nhân chính là bản giao hưởng tuyệt vời ấy, nơi mỗi nốt nhạc vang lên đều mang theo dấu ấn của nốt nhạc trước đó, tạo nên một bản hòa ca say đắm lòng người.
Khác với những dãy số khác, cấp số nhân mang trong mình một quy luật vô cùng đặc biệt: mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng trước nó với một số không đổi, được gọi là "công bội". Giống như nhịp điệu lặp đi lặp lại của một bản nhạc, công bội chính là sợi dây kết nối các số hạng trong dãy số, tạo nên một cấu trúc chặt chẽ và đầy mê hoặc.
Cấp số nhân không chỉ ẩn chứa vẻ đẹp toán học mà còn mang nhiều ý nghĩa sâu sắc trong thực tế. Từ những hiện tượng tự nhiên như sự phân nhánh của cây cối, sự lan truyền của dịch bệnh, đến những quy luật kinh tế như sự biến động giá cả, sự phát triển của thị trường, cấp số nhân đều hiện diện một cách rõ ràng.
Hành trình khám phá các yếu tố của cấp số nhân sẽ đưa ta đến với những điều kỳ diệu: số hạng đầu tiên, công bội và số hạng tổng quát - ba mảnh ghép hoàn hảo tạo nên bức tranh toàn cảnh về dãy số. Mỗi yếu tố đều mang một vai trò quan trọng, góp phần tạo nên bản sắc riêng biệt cho cấp số nhân.
Hãy cùng dấn thân vào cuộc phiêu lưu này, để khám phá những bí ẩn ẩn giấu sau những con số tưởng chừng vô nghĩa, để đắm chìm trong giai điệu du dương của cấp số nhân và say mê trước vẻ đẹp hài hòa của nó. Chắc chắn, hành trình này sẽ mang đến cho bạn những trải nghiệm vô cùng thú vị và bổ ích!
1. Nhắc lại kiến thức
- Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân \(\Leftrightarrow \frac{u_{n-1}}{u_{n}}=q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.
- Ba số \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \(\Leftrightarrow \mathrm{ac}=\mathrm{b}^{2}\).
- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \(u_{1}\) và \(q\).
- Với \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), số hạng đầu \(u_{1}\) , ta có
+ Công thức truy hồi: \(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
+ Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
+ \(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) với \(k \geq 2 \text {. }\)
- Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).
Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).
2. Bài tập thực hành
2.1. Bài 1
Cho cấp số nhân \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)\) có các số hạng khác không, tìm \(\mathrm{u}_{1}\) biết:
\(\left\{\begin{array}{c}u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=11 \\ u_{1}+u_{5}=\frac{82}{11}\end{array}\right.\)
Lời giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}\text { }\left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}\right)=11 \\ u_{1}\left(1+q^{4}\right)=\frac{82}{11}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{39}{11} \\ u_{1}\left(1+q^{4}\right)=\frac{82}{11}\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \frac{q^{4}+1}{q^{3}+q^{2}+q}=\frac{82}{39} \Leftrightarrow q=3, q=\frac{1}{3} .\end{array}\)
2.2. Bài 2
Cho cấp số nhân \(\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)\) thỏa: \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}_{4}=\frac{2}{27} \\ \mathrm{u}_{3}=243 \mathrm{u}_{8}\end{array}\right.\).
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
3. Số \(\frac{2}{6561}\) là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
Lời giải
Gọi \(\mathrm{q}\) là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } } \\{ u _ { 1 } q ^ { 2 } = 2 4 3 . u _ { 1 } q ^ { 7 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q ^ { 3 } = \frac { 2 } { 2 7 } } \\{ q ^ { 5 } = \frac { 1 } { 2 4 3 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{3} \\u_{1}=2\end{array}\right.\right.\right.\]1. Năm số hạng đầu của cấp số là:
\[\mathrm{u}_{1}=2, \mathrm{u}_{2}=\frac{2}{3}, \mathrm{u}_{3}=\frac{2}{9} ; \mathrm{u}_{4}=\frac{2}{27}, \mathrm{u}_{5}=\frac{2}{81} .\]2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số
\[S_{10}=u_{1} \frac{q^{10}-1}{q-1}=2 \cdot \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10}-1}{\frac{1}{3}-1}=3\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{10}\right]=\frac{59048}{19683} \text {. }\]3. Ta có: \(u_{n}=\frac{2}{3^{\mathrm{n}-1}} \Rightarrow \mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{6561} \Leftrightarrow 3^{\mathrm{n}-1}=6561=3^{8} \Rightarrow \mathrm{n}=9\)
Vậy \(\frac{2}{6561}\) là số hạng thứ 9 của cấp số.
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
