Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

*Định nghĩa:

Cho số phức \(z \neq 0\). Gọi \(M\) là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số \(z\). Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu \(\mathrm{Ox}\), tia cuối \(\mathrm{OM}\) được gọi là một acgumen của \(\mathrm{z}\).

* Cho số phức \(z=a+b i,(a, b \in R)\) Để viết số phức \(z\) dưới dạng lượng giác ta làm như sau:

+ Tìm một acgumen của số phức \(z\) là \(\varphi\)

+ Tính môđun của số phức \(z:|z|=r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).

+ Khi đó, ta có \(z=r .(\cos \varphi+i . \sin \varphi)\)

2. Ví dụ minh họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa viết số phức dưới dạng lượng giác.

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Viết số phức \(z=6+6 i\) dưới dạng lượng giác?

A. \(z=6 \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i . \sin \frac{\pi}{4}\right)\)

B. \(z=6\left(\cos \frac{\pi}{4}+\right.\) i. \(\left.\sin \frac{\pi}{4}\right)\)

C. \(z=3 \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{4}+\right.\) i. \(\left.\sin \frac{\pi}{4}\right)\)

D. \(z=3 \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{3 \pi}{4}+i \cdot \sin \frac{3 \pi}{4}\right)\)

Đáp án và lời giải:

Ta có: \(|z|=r=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=6 \sqrt{ } 2\)

Chọn \(\varphi\) là số thực thoả mãn \(\sqrt{6^{2}+6^{2}}\)

\[\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{4} \text {. }\]

Do đó, dạng lượng giác của số phức \(\mathrm{z}\) là:

\[z=6 \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{4}+i . \sin \frac{\pi}{4}\right)\]

Chọn A.

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10. \((\cos \pi+i \sin \pi)\)

B. 10. \((\cos 0+\) i.sin 0\()\)

C. \(10 \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{4}+\right.\) i. \(\left.\sin \frac{\pi}{4}\right)\)

D. \(10 \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{2}+\right.\) i. \(\left.\sin \frac{\pi}{2}\right)\)

Đáp án và lời giải:

Ta có:

Số 10 có mô dun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:

\[\text { 10. }(\cos 0+\text { i.sin} 0) .\]

Chọn B.

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: Viết số - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) dưới dạng lượng giác.

A. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 0+\mathrm{i} . \sin 0)\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos -2 \pi+\mathrm{i} . \sin -2 \pi)\)

C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos \pi+\mathrm{i} . \sin \pi)\)

D. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos 3 \pi+i . \sin 3 \pi)\)

Đáp án và lời giải:

Số - \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) có mô đun là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), có một acgumen là \(\pi\) nên số đó có dạng lượng giác là:

\[-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos \pi+i \cdot \sin \pi)\]

Chon \(\mathrm{C}\).

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: Viết số phức \(\mathrm{z}=\frac{1}{2+2 i}\) dưới dạng lượng giác?

A. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\cos \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)\right]\)

B. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]\)

C. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right]\)

D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right]\)

Đáp án và lời giải:

Ta có: \(\mathrm{z}=\frac{1}{2+2 i}=\frac{1}{2(1+i)}=\frac{1-i}{2(1+i) \cdot(1-i)}\) \(=\frac{1-i}{4}=\frac{1}{4}-\frac{i}{4}\)

Ta có \(|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}+\left(\frac{-1}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Một acgumen là \(\varphi\) thỏa mãn:

\[\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{2}} ; \sin \varphi=-\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi=-\frac{\pi}{4}\]

Do đó ,dạng lượng giác của số phức \(z\) là:

\[z=\frac{1}{2+2 i}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right] \text {. }\]

Chọn B.

Ví dụ 5:

Ví dụ 5: Viết số phức \(z=100\) i dưới dạng lượng giác?

A. \(z=100 \cdot \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i . \sin \frac{\pi}{2}\right)\)

B. \(z=100 \cdot \frac{100}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\pi}{2}+i . \sin \frac{\pi}{2}\right)\)

C. \(z=100 \cdot \sqrt{ } 2\left(\cos \frac{\pi}{2}+i . \sin \frac{\pi}{2}\right)\)

D. \(z=100\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \cdot \sin \frac{\pi}{2}\right)\)

Đáp án và lời giải:

Ta có: \(|z|=\sqrt{0^{2}+100^{2}}=100\)

Gọi \(\varphi\) là một acgumen của z thì \(\varphi\) thỏa mãn: \(\cos \varphi=0 ; \sin \varphi=1 \Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}\)

Do đó, dạng lượng giác của số phức z là :

\[z=100\left(\cos \frac{\pi}{2}+i . \sin \frac{\pi}{2}\right)\]

Chọn D.

3. Lời kết

Vậy là ta đã tiếp thu thêm được một dạng kết hợp mới của lượng giác và số phức rồi. Ta sẽ bắt gặp rất nhiều dạng toán kết hợp như vậy và tưởng chừng như nó sẽ khó, nhưng không đâu, chỉ cần nhớ kiến thức căn bản thì các dạng toán kết hợp không phải là vấn đề.

4. Trợ thủ đắc lực Examon

Examon chính là bảo bối của bạn khi gặp phải bài khó hay cần ôn tập trước khi thi hay kiểm tra. Vì ở Examon chứa đựng cả một kho tàng kiến thức chờ bạn khai phá.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!