Vi phân và đạo hàm cấp cao
Đạo hàm là một kiến thức quan trọng mà khi bạn học thì bạn phải biết cách áp dụng vào bài tập. Cùng Examon luyện tập ngay.
Mục lục bài viết
Đạo hàm là một kiến thức quan trọng trong toán học THPT, đặc biệt trong lĩnh vực giải tích. Còn được ứng dụng trong vật lý biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số đó tại điểm đó. Nói cách khác, đạo hàm cho biết hàm số thay đổi như thế nào khi giá trị đầu vào (biến số) thay đổi một lượng rất nhỏ.
Đạo hàm là khái niệm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như, kỹ thuật, kinh tế và khoa học máy tính. Rất đa dạng và hay gặp nhất là trong vật lý và kinh tế. Trong kinh tế, nó được sử dụng để tìm hiểu sự biến đổi của lợi nhuận hoặc chi phí. Hiểu và áp dụng đạo hàm là nền tảng để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp trong khoa học và kỹ thuật, giúp chúng ta nắm bắt được sự thay đổi và phát triển trong thế giới xung quanh.
Không chỉ quan trọng trong khi học THPT mà còn trong suốt quá trình học đại học . Bạn còn gặp rất nhiều vấn đề cần giải quyết. Việc ứng dụng đạo hàm vào các bài tập liên quan không đơn giản như việc áp dụng công thức là ra như những kiến thức toán học khác. Nó còn đặt biệt liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau. Công thức, lý thuyết bạn phải nắm vững mới có thể làm tốt được đạo hàm.
Dưới đây là một số kiến thức vi phân và đạo hàm mà Examon tổng hợp được nhằm giúp bạn tìm hiểu sâu hơn về nó và còn giúp bạn cải thiện điểm số. Hãy nghiên cứu kỹ các nội dung ở phía dưới để nắm rõ hơn về đạo hàm nhé.
1. Quy tắc tính và công thức đạo hàm
1.1 Quy tắc
- Các quy tắc cơ bản trong đạo hàm
Giả sử \(u=u(x), v=v(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định.
Ta có:
1. \((k \cdot u)^{\prime}=k \cdot u^{\prime}\) \(k\) là hằng số;
2. \((u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\) Đạo hàm của một tống;
3. \((u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} v+v^{\prime} u\) Đạo hàm của một tích;
4. \(\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, v \neq 0\) Đạo hàm của một thương.
1.2 Công thức cơ bản
Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)
1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số
2. \((x)^{\prime}=1\)
3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\) \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)
4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\) \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)
5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)
6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)
7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\) \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)
8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)
9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\) \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)
10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)
11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)
12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)
13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\) \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)
14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\) \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
2. Bài tập vi phân và đạo hàm cấp cao
Câu 1 . Tính vi phân của hàm số \(f(x)=3 x^{2}-x\) tại điểm \(x=2\) úng với \(\Delta x=0,1\).
A. \(d f(2)=-0,07\).
B. \(d f(2)=10\).
C. \(d f(2)=1,1\).
D. \(d f(2)=-0,4\).
Ta có \(f^{\prime}(x)=6 x-1 \Rightarrow f^{\prime}(2)=11\)
Vậy df \((2)=f^{\prime}(2) \Delta x=11.0,1=1,1\). Chọn C.
Câu 2. Tînh vi phần của hàm số \(f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}\) tại điểm \(x=4\) ứng với \(\Delta x=0,002\).
A. af \((4)=\frac{1}{8}\).
B. \(f(4)=\frac{1}{8000}\).
C. \(d f(4)=\frac{1}{400}\).
D. \(a f(4)=\frac{1}{1600}\).
Ta có \(f(x)=1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x} \longrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{x \sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}} \Rightarrow f^{\prime}(4)=\frac{1}{16}\).
Vậy ddf(4) \(=f^{\prime}(4) \Delta x=\frac{1}{16} \cdot 0,002=\frac{1}{8000}\). Chọn B.
Câu 3. Tính vi phân của hàm số \(y=\cos ^{2}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\).
A. \(d y=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \sin \left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) d x\).
B. \(d y=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \cos \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right]\).
C. \(d y=-\frac{1}{2 \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \sin \left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right) d x\).
D. \(d y=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \sin \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right] d x\).
\(y=\cos ^{2}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right]\).
Khi đó \(y^{\prime}=-\frac{1}{2} \cdot\left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right]^{\prime} \cdot \sin \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right]=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \cdot \sin \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right]\).
Vầy \(d y=d\left(\cos ^{2}\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right)=y^{\prime} d x=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}} \cdot \sin \left[2\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\right)\right] d x\). Chọn D.
Câu 4 . Cho hàm số \(f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x-6\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f^{\prime \prime}(x) \leq f^{\prime}(x)-1\) là
A. \(x \in[1 ; 3]\).
B. \(x \in \mathbb{R}\).
C. \(x \in(-\infty ; 1] \cup[3 ;+\infty)\).
D. \(x \in(-\infty ; 1) \cup(1 ; 3) \cup(3 ;+\infty)\).
\(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-6 x+4 \longrightarrow f^{\prime \prime}(x)=6 x-6\)
Do đó \(f^{\prime \prime}(x) \leq f^{\prime}(x)-1 \Leftrightarrow 6 x-6 \leq 3 x^{2}-6 x+3 \Leftrightarrow 3 x^{2}-12 x+9 \geq 0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 3 \\ x \leq 1\end{array}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=(-\infty ; 1] \cup[3 ;+\infty)\). Chọn C.
Câu 5 . Cho hàm số \(y=-3 x^{3}+3 x^{2}-x+5\). Tính giá trị của \(y^{(3)}(2017)\).
A. \(y^{(3)}(2017)=0\).
B. \(y^{(3)}(2017)=-2017\).
C. \(y^{(3)}(2017)=2017\).
D. \(y^{(3)}(2017)=-18\).
\(y^{\prime}=-9 x^{2}+6 x-1 \Rightarrow y^{\prime \prime}=-18 x+6 \longrightarrow y^{(3)}=-18\). Chọn D
Câu 6 . Tính đạo hàm cấp 3 cưa hàm số \(f(x)=(2 x+5)^{5}\).
A. \(f^{3}(x)=80(2 x+5)^{3}\).
B. \(f^{3}(x)=480(2 x+5)^{3}\).
C. \(f^{3}(x)=480(2 x+5)^{2}\).
D. \(f^{3}(x)=180(2 x+5)^{3}\).
\(f^{\prime}(x)=10(2 x+5)^{4} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=80(2 x+5)^{3} \Rightarrow f^{(3)}(x)=480(2 x+5)^{2}\). Chọn B.
Câu 7 . Đạo hàm bậc 21 của hàm số \(f(x)=\cos (x+a)\) là
A. \(f^{(21)}(x)=\sin \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\).
B. \(f^{(21)}(x)=-\sin \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\).
C. \(f^{(21)}(x)=-\cos \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\).
D. \(f^{(21)}(x)=\cos \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\).
\(f^{\prime}(x)=-\sin (x+a)=-\cos \left(x+a-\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\)
\[f^{\prime \prime}(x)=\cos \left(x+a+2 \frac{\pi}{2}\right), f^{\prime \prime}(x)=\cos \left(x+a+3 \frac{\pi}{2}\right)\]Do đó \(f^{(21)}(x)=\cos \left(x+a+21 \frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+a+10 \pi+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+a+\frac{\pi}{2}\right)\). Chọn D.
Câu 8. Cho hàm số \(f(x)=\frac{x^{2}}{-x+1}\). Tinh \(f^{(30)}(x)\).
A. \(f^{(30)}(x)=30!(1-x)^{-30}\).
B. \(f^{(30)}(x)=30!(1-x)^{-3!}\).
C. \(f^{(30)}(x)=-30!(1-x)^{-30}\).
D. \(f^{(30)}(x)=-30!(1-x)^{-3!}\).
\(f(x)=\frac{x^{2}}{1-x}=\frac{x^{2}-1+1}{1-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{1-x}+\frac{1}{1-x}=-x-1-\frac{1}{1-x}\)
Khi đó \(f^{\prime}(x)=-1+\frac{1}{(x-1)^{2}}, f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2 \cdot(x-1)}{(x-1)^{4}}=\frac{-2}{(x-1)^{3}}=\frac{-2!}{(x-1)^{3}}\)\(\qquad\)
Tưong tư \(f^{(3)}(x)=\frac{3!}{(x-1)^{4}} \Rightarrow f^{(30)}(x)=\frac{-30!}{(x-1)^{31}}=\frac{30!}{(1-x)^{31}}=30!\cdot(1-x)^{-31}\). Chọn B.
Câu 9. Cho khai triển \(\left(x^{3}-3 x^{2}+4\right)^{n}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{1\lt e} x^{3 x}\), biết \(a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{3 t}=4096\). Tim \(a_{2}\) ?
A. \(a_{2}=-9 \cdot 2^{24}\).
B. \(a_{2}=3 \cdot 2^{23}\).
C. \(a_{2}=-7 \cdot 2^{21}\).
D. \(a_{2}=5 \cdot 2^{22}\).
Thay \(x=1\) ta cả vế ta được \((1-3+4)^{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots+a_{3 n}=4096\)
\[\Leftrightarrow 2^{*}=4096 \Leftrightarrow n=12\]Xét biểu thực \(\left(x^{3}-3 x^{2}+4\right)^{12}=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{3 e} x^{36}\)
Đạo hàm 2 vế ta được \(12\left(x^{3}-3 x^{2}+4\right)^{11}\left(3 x^{2}-6 x\right)=a_{1}+2 a_{2} x+3 a_{3} x^{2}+\ldots+36 a_{3 x} x^{35}\)
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có:
\[121\left(x^{3}-3 x^{2}+4\right)^{10} \cdot\left(3 x^{2}-6 x\right)^{2}+12 \cdot\left(x^{3}-3 x^{2}+4\right)^{11} \cdot(6 x-6)=2 a_{2}+6 a_{3} x+\ldots\]Cho hệ số tự do của 2 vế bằng nhau ta được \(12 \cdot 4^{11} \cdot(-6)=2 a_{2} \Leftrightarrow a_{2}=-6^{2} \cdot 4^{11}=-9.2^{24}\). Chọn \(\mathrm{A}\).
Câu 10: Cho hàm số \(f(x)=2 m x-m x^{3}\). Số \(x=1\) là nghiệm của bất phương trình \(f^{\prime}(x) \leq 1\) khi và chỉ khi:
A. \(m \geq 1\).
B. \(m \leq-1\).
C. \(-1 \leq m \leq 1\).
D. \(m \geq-1\).
Hướng dẫn giải
Có \(f(x)=2 m x-m x^{3} \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 m-3 m x^{2}\).
Nên \(f^{\prime}(1) \leq 1 \Leftrightarrow 2 m-3 m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq-1\).
Chọn D
Câu 11: Đạo hàm của \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}\) bằng :
A. \(6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\).
B. \(6 x^{5}+16 x^{3}\).
C. \(6 x^{5}-20 x^{4}+4 x^{3}\).
D. \(6 x^{5}-20 x^{4}-16 x^{3}\).
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng công thức \(\left(u^{n}\right)^{\prime}\)
Ta có \(y^{\prime}=2 \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{\prime}=2\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}-4 x\right)\)
\(=6 x^{5}-8 x^{4}-12 x^{4}+16 x^{3}=6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\)
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :
Ta có: \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}=x^{6}-4 x^{5}+4 x^{4} \Rightarrow y^{\prime}=6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\)
Chọn A
Câu 12: Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x}}{x} & \text { khi } x\gt 0 \\ 0 & \text { khi } x=0\end{array}\right.\). Xét hai mệnh đề sau:
(I) \(f^{\prime}(0)=1\).
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \(\mathrm{x}_{0}=0\).
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chi (II).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số tại 0 sao cho \(\Delta x>0\).
Ta có \(f^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x+0)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta^{2} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x \sqrt{\Delta x}}=+\infty\).
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0 .
Chọn B.
Câu 13 : Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos 2 x}{3 x+1}\) là
A. \(y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
B. \(y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{3 x+1}\).
C. \(y^{\prime}=\frac{-\sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
D. \(y^{\prime}=\frac{2 \sin 2 x(3 x+1)+3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y^{\prime}=\frac{(\cos 2 x)^{\prime}(3 x+1)-(3 x+1)^{\prime} \cdot \cos 2 \mathrm{x}}{(3 x+1)^{2}} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
Chọn đáp án \(\mathbf{A}\).
Câu 14: Đạo hàm cấp \(n\) (với \(n\) là số nguyên dương) của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\) là:
A. \(\frac{(-1)^{n} n}{(x-1)^{n+1}}\).
B. \(\frac{n!}{(x-1)^{n+1}}\).
C. \(\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n+1}}\).
D. \(\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n}}\).
Hướng dẫn giải
\[\begin{array}{l}\text { Có } y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}=-1 \cdot(x-1)^{-2} \\y^{\prime \prime}=\frac{2 \cdot(x-1)}{(x-1)^{4}}=2!\cdot(x-1)^{-3} ; \\y^{\prime \prime \prime}=-\frac{2 \cdot 3(x-1)^{2}}{(x-1)^{6}}=-6 \cdot(x-1)^{-4}=-3!\cdot(x-1)^{-4} ;\end{array}\]Dự đoán \(y^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!.(x-1)^{-n-1}=\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n+1}}\).
Thật vậy: Dễ thấy MĐ đúng khi \(n=1\).
Giả sử MĐ đúng khi \(n=k(k \geq 1)\), tức là ta có \(y^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k} k!}{(x-1)^{k+1}}\).
Khi đó \(y^{(k+1)}(x)=\left[y^{(k)}(x)\right]^{\prime}=\left[\frac{(-1)^{k} k!}{(x-1)^{k+1}}\right]^{\prime}=-\frac{(-1)^{k} k!\cdot(k+1)(x-1)^{k}}{(x-1)^{2 k+2}}=\frac{(-1)^{k+1} \cdot(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}\).
Vậy MĐ đúng khi \(n=k+1\) nên nó đúng với mọi \(n\).
Chọn \(\mathbf{C}\).
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{2-3 x}{x-1}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
A. 9 .
B. \(\frac{1}{9}\).
C. -9 .
D. \(-\frac{1}{9}\).
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \backslash\{1\}\).
Đạo hàm: \(y^{\prime}=\frac{1}{(x-1)^{2}}\).
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(A\left(\frac{2}{3} ; 0\right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y^{\prime}\left(\frac{2}{3}\right)=9\).
Câu 16 : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x\) tại điểm có hoành độ \(x_{0}=-1\) là:
A. \(y=10 x+4\).
B. \(y=10 x-5\).
C. \(y=2 x-4\).
D. \(y=2 x-5\).
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y^{\prime}=3 x^{2}-4 x+3\).
\[y^{\prime}(-1)=10 ; y(-1)=-6\]Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \((d): y=10(x+1)-6=10 x+4\).
Chọn A.
Câu 17 : Trên đồ thị của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\) có điểm \(M\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 . Tọa độ \(M\) là:
A. \((2 ; 1)\).
B. \(\left(4 ; \frac{1}{3}\right)\).
C. \(\left(-\frac{3}{4} ;-\frac{4}{7}\right)\).
D. \(\left(\frac{3}{4} ;-4\right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\). Lấy điểm \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right) \in(C)\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y=-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{x_{0}-1}\)(4).
Giao với trục hoành: \((\Delta) \cap O x=A\left(2 x_{0}-1 ; 0\right)\).
Giao với trục tung: \((\Delta) \cap O y=B\left(0 ; \frac{2 x_{0}-1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right)\)
\(S_{O A B}=\frac{1}{2} O A \cdot O B \Leftrightarrow 4=\left(\frac{2 x_{0}-1}{x_{0}-1}\right)^{2} \Leftrightarrow x_{0}=\frac{3}{4}\). Vậy \(M\left(\frac{3}{4} ;-4\right)\).
Chọn \(\mathbf{D}\).
Câu 18: Cho hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}-2\) có đồ thị hàm số \((C)\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y^{\prime \prime}=0\) là
A. \(y=-x-\frac{7}{3}\)
B. \(y=-x+\frac{7}{3}\)
C. \(y=x-\frac{7}{3}\)
D. \(y=\frac{7}{3} x\)
HDG:
Ta có \(y^{\prime}=x^{2}+2 x\) và \(y^{\prime \prime}=2 x+2\)
Theo giả thiết \(x_{0}\) là nghiệm của phương trình \(y^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0 \Leftrightarrow 2 x+2=0 \Leftrightarrow x_{0}=-1\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left(-1 ;-\frac{4}{3}\right)\) là: \(y=-x-\frac{7}{3}\)
3. Phương pháp luyện đề hiệu quả
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [ĐẠO HÀM ]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệbiệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
