Vận dụng phương trình hàm tính tích phân

Tích phân liên quan đến biểu thức \(u(x) \cdot f^{\prime}(x) + u^{\prime}(x) \cdot f(x)=g(x)\)

Phương pháp:

Ta có \(u(x) \cdot f^{\prime}(x)  + u^{\prime}(x) \cdot f(x)=g(x) \leftrightarrow[u(x) \cdot f(x)]^{\prime}=g(x)\). 

Suy ra \(u(x) \cdot f(x)=\int g(x) \mathrm{d} x\). 

Từ đó tìm được \(f(x)\).

Tích phân liên quan đến biểu thức \(f^{\prime}(x) + p(x) \cdot f(x)=g(x)\) \((*)\)

Phương pháp: 

Nhân hai vế của \((*)\) với \(e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\) ta được : 

\(f^{\prime}(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x}+p(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot f(x)=e^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot g(x).\)

\( \Leftrightarrow\left[f(x) . e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\right]^{\prime}=e^{\int p(x) \mathrm{d} x} \cdot g(x) \)

Suy ra \(f(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x}=\int e^{\int p(x) \mathrm{d} x} . g(x) \mathrm{d} x\). 

Từ đó tìm được \(f(x)\).

Tích phân liên quan đến phương trình hàm có dạng \(u(x) \cdot f^{\prime}(x)=v(x) \cdot f(x)\) 

Phương pháp:

Chủ yếu biến đổi để sử dụng các công thức đạo hàm

1) \(u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime}=(u v)^{\prime}\)

2) \(\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}\)

3) \(\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}=(\sqrt{u})^{\prime}\)

Việc còn lại là lấy tích phân hai vế để đi đến kết quả

Bài 1: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\). Biết \((x-1) \cdot f^{\prime}(x)+f(x)=3 x^{2}-2 x\) và \(f(1)=-1\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải

Ta có \((x-1) f^{\prime}(x)+f(x)=3 x^{2}-2 x \Leftrightarrow[(x-1) f(x)]^{\prime}=3 x^{2}-2 x\)

Suy ra \((x+1) f(x)=\int\left(3 x^{2}-2 x\right) \mathrm{d} x=x^{3}-x^{2}-C\).

Vì \(f(1)=-1\) nên \((1+1) f(1)=1^{3}-1^{2}-C\). 

Suy ra \(C=-2\).

Do đó \(f(x)=\frac{x^{3}-x^{2}-2}{x+1}\).

Vậy \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{x^{3}-x^{2}-2}{x+1} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1}\left(x^{2}-2 x+2-\frac{4}{x+1}\right) \mathrm{d} x\)

\(=\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-2 x-4 \ln |x+1|\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{4}{3}-4 \ln 2\)

Bài 2: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)+f(x)=(2 x-1) e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f(1)=e\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\).

Lời giải

Ta có \(f^{\prime}(x)+f(x)=(2 x-1) e^{x} \Leftrightarrow e^{x} f(x)+e^{x} f^{\prime}(x)=e^{x}(2 x+1) e^{x}\).

\( \Leftrightarrow\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime}=(2 x+1) e^{2 x}\)

Suy ra \(e^{x} \cdot f(x)=\int(2 x-1) e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2}(2 x+1) e^{2 x}-\frac{1}{2} e^{2 x}+C=x \cdot e^{2 x}+C\)

Vì \(f(1)=e\) nên \(e^{1} f(1)=1 . e^{2}+C\). 

Suy ra \(C=0\).

Do đó \(f(x)=x e^{x}\).

Vậy \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} \mathrm{~d} x=\left.x \cdot e^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} \mathrm{~d} x=1\).

Bài 3: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0 ; 6]\) thỏa mãn \(f(x)\gt -1\) với mọi \(x \in[0 ; 6], f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x) \sqrt{x^{2} \cdot 1}=2 x \sqrt{f(x) \cdot 1}\). Khi đó \(\int_{0}^{6} f(x) \mathrm{d} x\) bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Từ giả thiết suy ra \(\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)+1}}=\frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).

Suy ra \(\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)+1}} \mathrm{~d} x=\int \frac{2 x}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x \Leftrightarrow 2 \sqrt{f(x)+1}=2 \sqrt{x^{2}+1}+C\).

Vì \(f(0)=0\) nên \(C=0\). Suy ra \(f(x)=x^{2}\).

Vậy \(\int_{0}^{6} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{6} x^{2} \mathrm{~d} x=72\).