Ứng dụng tích phân : Tính tổng biểu thức tổ hợp
Thay vì phải sử dụng nhiều công thức tổ hợp khó nhớ và dễ nhầm lẫn, Examon giới thiệu cho bạn một phương pháp dựa vào tích phân để khiến bài toán tổ hợp trở nên dễ dàng hơn ở bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết
Bài viết này, Examon dẫn dắt bạn qua hành trình khám phá cách dùng tích phân để tính tổng biểu thức tổ hợp. Thay vì lạc vào mê cung của những công thức tổ hợp phức tạp và khó nhớ, chúng ta sẽ tìm hiểu cách áp dụng các ứng dụng tích phân để đơn giản hóa và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả. Với sự kết hợp giữa lý thuyết và bài tập cụ thể sẽ cho bạn cái nhìn mới mẻ về tích phân.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Dấu hiệu nhận biết
Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{C_{n}^{k}}{k+1}\) hoặc \(\frac{C_{n}^{k}}{(n-k+1)}\) thì tích phân thường có dạng:
\(\int_{0}^{1} f(x) d x\).
Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{C_{n}^{k}\left(\alpha^{k}-\beta^{k}\right)}{k+1}\) hoặc \(\frac{C_{n}^{k}\left(\alpha^{k}-\beta^{k}\right)}{(n-k+1)}\) thì tích phân thường có dạng:
\(\int_{\beta}^{\alpha} f(x) d x\).
3. Phương pháp chung
Xét khai triển \(f(x)=(a \pm b x)^{n}\).
Tính tích phân hai vế của khai triển ( lấy cận dựa vào dấu hiệu nhận biết)
Chọn \(a, b, x\) thích hợp.
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho \(n\) là số nguyên dương. Tính tổng \(C_{n}^{0}+\frac{2^{2}-1}{2} C_{n}^{1}+\frac{2^{3}-1}{3} C_{n}^{2}+\ldots+\frac{2^{n+1}-1}{n+1} C_{n}^{n}\).
Lời giải
Xét khai triển \((1+x)^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}\).
Suy ra: \(\int_{1}^{2}(1+x)^{n} d x=\int_{1}^{2}\left(C_{n}^{0}+C_{n}^{1} x+C_{n}^{2} x^{2}+\ldots+C_{n}^{n} x^{n}\right) d x\).
\(\left.\Leftrightarrow \frac{1}{n+1}(1+x)^{n+1}\right|_{1} ^{2}=\left.\left(C_{n}^{0} x+C_{n}^{1} \frac{x^{2}}{2}+C_{n}^{2} \frac{x^{3}}{3}+\ldots+C_{n}^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}\right)\right|_{1} ^{2}\)
\(\Leftrightarrow C_{n}^{0}+\frac{2^{2}-1}{2} C_{n}^{1}+\frac{2^{3}-1}{3} C_{n}^{2}+\ldots+\frac{2^{n+1}-1}{n+1} C_{n}^{n}=\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{n+1}\).
4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{1}(x+2)^{6} d x\).
Lời giải
Ta có: \(I=\int_{0}^{1}(x+2)^{6} d x\)
\(=\int_{0}^{1}\left(C_{6}^{0} 2^{6}+C_{6}^{1} 2^{5} x+C_{6}^{2} 2^{4} x^{2}+C_{6}^{3} 2^{3} x^{3}+C_{6}^{4} 2^{2} x^{4}+C_{6}^{5} 2 x^{5}+C_{6}^{6} x^{6}\right) d x\)
\(=\left[\frac{2^{6}}{1} C_{6}^{0} x+\frac{2^{5}}{2} C_{6}^{1} x^{2}+\frac{2^{4}}{3} C_{6}^{2} x^{3}+\frac{2^{3}}{4} C_{6}^{3} x^{4}+\frac{2^{2}}{5} C_{6}^{4} x^{5}+\frac{2}{6} C_{6}^{5} x^{6}+\frac{1}{7} C_{6}^{6} x^{7}\right]_{0}^{1}\).
\(=\frac{2^{6}}{1} C_{6}^{0}+\frac{2^{5}}{2} C_{6}^{1}+\frac{2^{4}}{3} C_{6}^{2}+\frac{2^{3}}{4} C_{6}^{3}+\frac{2^{2}}{5} C_{6}^{4}+\frac{2}{6} C_{6}^{5}+\frac{1}{7} C_{6}^{6}\)
\(=\frac{2059}{7}\).
4.3. Bài tập 3
Bài 3 : Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2} C_{2 n}^{1}+\frac{1}{4} C_{2 n}^{3}+\frac{1}{6} C_{2 n}^{5}+\ldots+\frac{1}{2 n} C_{2 n}^{2 n-1}=\frac{2^{2 n}-1}{2 n+1}\) (với \(n \in Z_{+}^{*}\) ).
Lời giải
Ta có:
\((1+x)^{2 n}=C_{2 n}^{0}+C_{2 n}^{1} x+C_{2 n}^{2} x^{2}+C_{2 n}^{3} x^{3}+\ldots+C_{2 n}^{2 n} x^{2 n}(1)\).
\((1-x)^{2 n}=C_{2 n}^{0}-C_{2 n}^{1} x+C_{2 n}^{2} x^{2}-C_{2 n}^{3} x^{3}+\ldots+C_{2 n}^{2 n} x^{2 n}(2)\).
Xét hàm số: \(f(x)=\frac{(1+x)^{2 n}-(1-x)^{2 n}}{2}(3)\).
Từ \((1),(2)\) và \((3)\) suy ra: \(f(x)=C_{2 n}^{1} x+C_{2 n}^{3} x^{3}+C_{2 n}^{5} x^{5}+\ldots+C_{2 n}^{2 n-1} x^{2 n-1}(4)\).
Từ (3) ta có:
\(\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(\frac{(1+x)^{2 n}-(1-x)^{2 n}}{2}\right) d x=\left.\left(\frac{(1+x)^{2 n+1}+(1-x)^{2 n+1}}{2(2 n+1)}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{2^{2 n+1}-2}{2(2 n+1)}=\frac{2^{2 n}-1}{2 n+1}(5)\).
Từ (4) ta có: \(\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(C_{2 n}^{1} x+C_{2 n}^{3} x^{3}+C_{2 n}^{5} x^{5}+\ldots+C_{2 n}^{2 n-1} x^{2 n-1}\right) d x\).
\(=\left.\left(C_{2 n}^{1} \frac{x^{2}}{2}+C_{2 n}^{3} \frac{x^{4}}{4}+C_{2 n}^{5} \frac{x^{6}}{6}+\ldots+C_{2 n}^{2 n-1} \frac{x^{2 n}}{2 n}\right)\right|_{0} ^{1}\).
\(=\frac{1}{2} C_{2 n}^{1}+\frac{1}{4} C_{2 n}^{3}+\frac{1}{6} C_{2 n}^{5}+\ldots+\frac{1}{2 n} C_{2 n}^{2 n-1}\)
Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{1}{2} C_{2 n}^{1}+\frac{1}{4} C_{2 n}^{3}+\frac{1}{6} C_{2 n}^{5}+\ldots+\frac{1}{2 n} C_{2 n}^{2 n-1}=\frac{2^{2 n}-1}{2 n+1}\).
5. Bắt đầu luyện đề cùng Examon
Examon đã cùng bạn đi khám phá một ứng dụng thú vị của tích phân, vượt ra khỏi khuôn khổ truyền thống và mở ra những cánh cửa mới trong việc xử lý các phép toán tổ hợp. Nhờ vào tích phân, những bài toán vốn dĩ rất khó khăn và phức tạp nay trở nên dễ dàng tiếp cận và giải quyết hơn. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đọc đã có thêm những kiến thức bổ ích và cái nhìn sâu sắc hơn về ứng dụng của tích phân.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!