Ứng dụng tích phân : Bài toán tăng trưởng và phát triển
Examon sẽ dẫn dắt các bạn vào thế giới của tích phân qua lăng kính của các bài toán tăng trưởng và phát triển
Mục lục bài viết
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá cách tích phân được ứng dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tăng trưởng dân số, lượng nước chảy, và các hiện tượng tương tự trong các lĩnh vực khác. Qua những ví dụ minh họa trực quan, các bạn sẽ thấy rằng tích phân không chỉ là lý thuyết trên giảng đường mà còn là công cụ hữu ích trong việc phân tích và dự đoán, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về thế giới xung quanh.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) biểu diễn cho sự chênh lệch số lượng của một đối tượng nào đó (số người, động vật, vi trùng, vi khuẩn, lượng nước chảy,...).
Giá trị \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm \(\mathrm{x}\).
Đạo hàm \(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\) chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm \(x\).
Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng \(\mathrm{x} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\) là:
\(\int_{a}^{b} f(x) d x\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm \(\mathrm{t}\) giây là \(\mathrm{v}(\mathrm{t})=10 \mathrm{t}+500\left(\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right)\). Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu?
Lời giải
Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian \(40\) phút = \(2400\) giây sẽ bằng :
\[\mathrm{L}=\int_{0}^{2400} \mathrm{v}^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\int_{0}^{2400}(10 \mathrm{t}+500) \mathrm{dt}=\left.\left(5 \mathrm{t}^{2}+500 \mathrm{t}\right)\right|_{0} ^{2400}=3.10^{7}\left(\mathrm{~m}^{3}\right)\]Vậy trong khoảng thời gian \(40\) phút, nhà máy đã xả một lượng nước là \(30\) triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 30 triệu khối nước.
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Tốc độ thay đổi của số lượng người \(V\) ( tính bằng ngàn người ) tham gia công tác tình nguyện ở nước A từ năm \(2000\) đến năm \(2006\) có thể được mô hình bởi hàm số \(\mathrm{V}(\mathrm{t})=119,85 \mathrm{t}^{2}-30 \mathrm{e}^{\mathrm{t}}+37,26 \mathrm{e}^{-\mathrm{t}}\) với \(\mathrm{t}\) là năm ( \(\mathrm{t}=0\) ứng với năm \(2000\) ). Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu.
Lời giải
Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ năm \(2000\) đến năm \(2006\) là :
\(\int_{0}^{6} V(t) d t=\int_{0}^{6}\left(119,85 t^{2}-30 e^{t}+37,261 e^{-t}\right) d t\)
\(=\left.\left(\frac{119,85}{3} \mathrm{t}^{3}-30 \mathrm{e}^{\mathrm{t}}-37,261 \mathrm{e}^{-\mathrm{t}}\right)\right|_{0} ^{6}=-3473,756166-(-67,261) \approx-3406\).
Vậy trong khoảng thời gian từ năm \(2000\) đến năm \(2006\), số lượng người tham gia công tác tình nguyện đã giảm đi khoảng \(3406\) người.
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau \(\mathrm{x}\) tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố \(\mathrm{A}\) sẽ tăng với tốc độ \(\mathrm{v}(\mathrm{x})=10+2 \sqrt{2 \mathrm{x}+1}\) (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới
Lời giải
Gọi \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là dân số của thành phố sau \(\mathrm{x}\) tháng kể từ bây giờ.
Ta có tốc độ thay đổi của dân số là \(\mathrm{v}(\mathrm{x})=10+2 \sqrt{2 x+1}\).
Suy ra \(f(x)=\int(10+2 \sqrt{2 x+1}) d x=10 x+2 \int \sqrt{2 x+1} d x\).
Mà \(\int \sqrt{2 x+1} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int(2 x+1)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d}(2 x+1)=\frac{1}{3}(2 x+1)^{\frac{3}{2}}+C\).
Do đó \(f(x)=10 x+\frac{2}{3}(2 x+1)^{\frac{3}{2}}+C\).
Số dân trong \(4\) tháng tới là \(\mathrm{f}(4)-\mathrm{f}(0)=10.4+\frac{2}{3}(2.4+1)^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}-\left(0+\frac{2}{3}+\mathrm{C}\right) \approx 57\) người
4. Áp dụng lý thuyết vào thực tế cùng Examon
Từ những gì Examon trình bày, chúng ta đã có cái nhìn rõ ràng về tích phân trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tăng trưởng và phát triển. Từ mô hình hóa sự phát triển dân số, lượng nước chảy,.. tất cả đều cho thấy sự ứng dụng sâu rộng và quan trọng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã mang lại nhiều thông tin bổ ích và kích thích sự hứng thú của các bạn trong việc tìm hiểu và khám phá thêm những ứng dụng khác của toán học.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!