Ứng dụng tích phân : Tính công của lực tác dụng lên vật
Công cơ học - một khái niệm quen thuộc trong vật lý, trở thành rõ ràng và dễ hiểu hơn khi chúng ta biết cách áp dụng tích phân để giải quyết
Mục lục bài viết
Toán học không chỉ tồn tại như một môn học trừu tượng với các con số và công thức mà còn là công cụ mạnh mẽ được áp dụng sâu rộng trong nhiều lĩnh vực của đời sống.
Một trong những ứng dụng quan trọng và hấp dẫn nhất của toán học mà Examon giới thiệu cho bạn ở bài viết dưới đây chính là việc sử dụng tích phân để tính công của lực tác dụng lên vật.
Cùng Examon tìm hiểu Ứng dụng tích phân : Tính công của lực tác dụng lên vật nhé!
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Công của lực tác dụng lên vật
Nếu một lực không đổi \(\mathrm{F}\) tác dụng lên vật \(\mathrm{M}\) dọc theo một khoảng cách (độ dời) \(\mathrm{d}\), thì công \(\mathrm{W}\) sinh ra trong quá trình dịch chuyển bằng tích của lực \(\mathrm{F}\) và độ dài khoảng cách \(\mathrm{d}\) mà nó đã tác dụng, ta có công thức \(\mathrm{W}=\mathrm{F} . \mathrm{d}\)
Trong đó: lực \(F\) được hiểu là tác dụng dọc theo hướng (phương) chuyển động.
3. Phương pháp giải
Giả sử \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là lực tác dụng lên vật tại vị trí \(\mathrm{x}\), đường đi của lực tác dụng(quỹ đạo của vật được tác dụng lực) tương ứng với trục tọa độ \(\mathrm{Ox}\). Khi đó, công toàn phần sinh ra trong cả quá trình chuyển động của vật từ vị trí \(\mathrm{x}=\mathrm{a}\) đến vị trí \(\mathrm{x}=\mathrm{b}\) là :
\(W=\int_{a}^{b} f(x) d x\)
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1 : Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra, thường kéo dài trong \(5 \mathrm{~s}\). Vận tốc cực đại của khí là \(\mathrm{V} ( \mathrm{l} / \mathrm{s})\), vì thế nó được mô hình hoá bởi \(v(t)=V \sin \frac{3 \pi t}{5}\). Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian \(2 \mathrm{~s}\).
Lời giải
Vộn tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức \(v(t)=V \sin \frac{3 \pi t}{5}\).
Suy ra lượng khí hít vào sau \(2\) giây là :
\[N(2)=\int_{0}^{2} v(x) d x=\int_{0}^{2} V \sin \frac{3 \pi t}{5} d t=\frac{5 V}{3 \pi}\left(1-\cos \frac{3 \pi \cdot 2}{5}\right)=1,06 V \text { lít khi. }\]4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Một lực \(40 \mathrm{~N}\) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ \(10 \mathrm{~cm}\) đến \(15 \mathrm{~cm}\) Hãy tính công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ \(15 \mathrm{~cm}\) đến \(18 \mathrm{~cm}\).
Lời giải
Theo giải thiết lò xo có độ dài tự nhiên \(10 \mathrm{~cm}\).
Dùng một lực \(40 \mathrm{~N}\) kéo giãn lò xo có độ dài \(15 \mathrm{~cm}\) thì lò xo bị kéo dãn một đoạn có độ dài \(5 \mathrm{~cm}=0,05 \mathrm{~m}\).
Ta có \(f(0,05)=40 \Leftrightarrow 0,05 . k=40 \Leftrightarrow k=800\).
Suy ra \(f(x)=800 x\).
Do đó công sinh ra khi kéo căng lò xo từ \(15 \mathrm{~cm}\) đến \(18 \mathrm{~cm}\) là
\[W=\int_{0,05}^{0,08} 800 x d x=\left.800 \cdot \frac{x^{2}}{2}\right|_{0,05} ^{0,08}=1,56 J .\]4.3. Bài tập 3
Bài 3 : Một lực có độ lớn \(40 \mathrm{~N}\) (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên \(10 \mathrm{~cm}\) lên \(15 \mathrm{~cm}\). Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm \(x\) (đơn vị độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trở lại (chống lại) với một lực cho bởi công thức \(f(x)=k x(N)\), trong đó \(k\) là hệ số đàn hồi của lò xo. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ \(15 \mathrm{~cm}\) đến \(20 \mathrm{~cm}\) ?
Lời giải
Khi kéo lò xo từ \(10 \mathrm{~cm}\) đến \(15 \mathrm{~cm}\) nó bị kéo căng thêm \(5 \mathrm{~cm}=0,05 \mathrm{~m}\).
\(\Rightarrow f(0,05)=40 \Leftrightarrow 0,05 k=40 \Rightarrow k=800 \text {. }\)
Do đó \(f(x)=800 x\)
Công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ \(15 \mathrm{~cm}\) đến \(20 \mathrm{~cm}\) là :
\(W=\int_{0,05}^{0,1} f(x) d x\)
\(\Rightarrow W=\int_{0,05}^{0,1} f(x) d x=\int_{0,05}^{0,1}(800 x) d x=\left.800\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0,05} ^{0,1}=3(J)\)
5. Cùng Examon chinh phục bài tập tích phân
Examon cùng bạn tìm hiểu về cách ứng dụng tích phân trong việc tính toán công của lực tác dụng lên vật. Từ việc hiểu rõ khái niệm công cơ học đến việc áp dụng công thức để giải quyết những bài toán thực tiễn. Hy vọng rằng kiến thức mà Examon cung cấp không chỉ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về một khía cạnh quan trọng của toán học và vật lý, mà còn tạo nền tảng vững chắc cho nghiên cứu sâu hơn trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.