Ứng dụng Nguyên hàm Toán 12

Hàm chi phí cận biên MC(q)=5q+10. Biết rằng tổng chi phí khi sản xuất 0 đơn vị sản phẩm là 50. Tính tổng chi phí TC(q) khi sản xuất q đơn vị sản phẩm

Giai:

Tổng chi phí là nguyên hàm của chi phí cận biên:

\(T C(q)=\int(5 q+10) d q\)

\(=5\left(\frac{q^{2}}{2}\right)+10 q+C=\frac{5 q^{2}}{2}+10 q+C\)

Dùng điều kiện TC (0) = 50:

\(T C(0)=\frac{5 \cdot 0^{2}}{2}+10 \cdot 0+C=50\)

=> C=50

Vậy tổng chi phí:

\(T C(q)=\frac{5 q^{2}}{2}+10 q+50\)

Gia tốc của một vật là a(t)=6t. Biết rằng vận tốc ban đầu v(0)=2. Tính vận tốc và quãng đường mà vật di chuyển được tại t=0 đến t=3

Giải:

Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc :

\(v(t)=\int 6 t d t=6\left(\frac{t^{2}}{2}\right)+C=3 t^{2}+C\)

Dùng điều kiện ban đầu v(0)=2

\(v(0)=3 \cdot 0^{2}+C=2 \Rightarrow C=2\)

Vậy vận tốc:

\(v(t)=3 t^{2}+2\)

Quãng đường di chuyển được từ t=0 đến t=3:

\(s=\int_{0}^{3} v(t) d t=\int_{0}^{3}\left(3 t^{2}+2\right) d t=\int_{0}^{3} 3 t^{2} d t+\int_{0}^{3} 2 d t\)

Tìm nguyên hàm:

\(\int 3 t^{2} d t=t^{3}+C \quad\) và \(\quad \int 2 d t=2 t+C\)

Áp dụng giới hạn từ 0 đến 3:

\(\left[t^{3}\right]_{0}^{3}+[2 t]_{0}^{3}=3^{3}-0^{3}+2(3-0)\)

=27 + 6 = 33

Vậy quãng đường di chuyển được là 33 đơn vị

Một vật di chuyển dọc theo trục x dưới tác dụng cảu lực \(F(x)=4 x^{2}\). Tính công thực hiện bởi lực này khi vật di chuyển từ x=2 đến x=5

Giai:

Công thực hiện bởi lực F(x) khi vật di chuyển từ x=2 đén x=5 là tích phân xác định của F(x) từ 2 đến 5: \(\int_{2}^{5} 4 x^{2} d x\)

Ta tìm nguyên hàm của \(4 x^{2}\):

\(\int x^{2} d x=4 \int x^{2} d x=4\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{4 x^{3}}{3}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 2 đến 5:

\(\left[\frac{4 x^{3}}{3}\right]_{2}^{5}=\frac{4 \cdot 5^{3}}{3}-\frac{4 \cdot 2^{3}}{3}=\frac{4 \cdot 125}{3}-\frac{4 \cdot 8}{3}\)

\(=\frac{500}{3}-\frac{32}{3}=\frac{468}{3}=156\)

Vậy công thực hiện bởi một lực là 156 đơn vị công

Tính diện tích vùng nằm dưới đồ thị của hàm số \(y=x^{3}\) từ \(x=1\) đến \(x=3\).

Giải:Diện tích cần tính là tích phân xác định của hàm số \(y=x^{3}\) từ \(x=1\) đến \(x=3\) :

Ta tìm nguyên hàm của \(x^{3}\) :

Áp dụng giới hạn từ 1 đến 3:

\(\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}=\frac{81}{4}-\frac{1}{4}=\frac{80}{4}=20\)

Vậy diện tích cần tính là 20

Tính thể tích của vật thể tạo thành bằng cách quay vùng dưới đồ thị của hàm số \(y=\sqrt{x}\) từ x=0 đến x=4 quanh trục x

Giai:

Thể tích V của vật thể tạo thành khi quay quanh trục x được tính bằng tích phân:

\(V=\pi \int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2} d x=\pi \int_{0}^{4} x d x\)

Ta tìm nguyên hàm của x:

\(\int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 0 đến 4:

\(V=\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\pi\left(\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)=\pi\left(\frac{16}{2}\right)=8 \pi\)

Vậy thể tích của vật thể là \(8 \pi\)

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện để lại quan trọng đến vậy không? Các bạn học sinh ơi, đừng nhầm lẫn nhé vì các bộ đề thi không hề giống nhau, mỗi đề sẽ có cấu trúc và cách chinh phục riêng của nó. 

Bạn không tiếp cận được đề thi mới nhất, bạn không biết được bộ giáo dục sẽ làm đề theo xu hướng gì ? Bạn chỉ lên mạng và làm đề cũ kỹ ? Điều này thật phí phạm thời gian và chất xám của các nhân tài tương lai của đất nước. 

Tuy nhiên, đến với Examon, bạn đừng lo vì đã có chương trình học được thiết kế riêng cho bạn, đúng vậy chỉ dành riêng cho các bạn. 

Giải và nghiên cứu đề đúng trọng tâm là chìa khóa để bạn làm chủ kỳ thi, nhận diện các dạng bài tập phổ biến và áp dụng phương pháp giải hiệu quả.

Examon tự hào mang đến cho bạn hệ thống đề thi được cập nhật liên tục và chính xác, giúp bạn nâng cao kỹ năng và tự tin vượt qua mọi thử thách. 

Hãy cùng Examon khám phá những chiến thuật luyện đề thông minh, tối ưu hóa quá trình ôn tập và chinh phục đỉnh cao tri thức!

- Nhận biết các dạng bài thi quan trọng.

- Thực hành với các phương pháp làm bài tối ưu.

- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

- Bước 1: Tao và Đăng nhâp tài khoản Đầu tiên, các ban cần có môt tài khoản Examon. Chỉ vỡi vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một để thi phù hợp và bắt đầu luyện!

- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn để của bạn.

- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ để được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) để tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!