Ứng dụng đạo hàm vào các bài toán liên quan
Bạn đã bao giờ khám phá sâu vào đạo hàm chưa? Nếu chưa ngay bây giờ cũng Examon khám phá nhé!
Mục lục bài viết
Ứng dụng đạo hàm rất đa dạng, nó góp mặt trong rất nhiều lĩnh vực như kinh tế, vật lý, y tế,..... Giúp ta giải quyết được những vấn đề của toán học và một số bài toán vật lý. Cũng giải thích cho ta một số hiện tượng kì lạ trong những lĩnh vực khác.
Nhưng để làm được những điều đó, thì bạn phải nắm được những kiến thức liên quan đến đạo hàm cũng như cách áp dụng chúng. Examon sẽ hướng bạn qua bài toán ứng dụng đạo hàm nhé!

1. Công thức đạo hàm
Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp \(u=u(x)\)
1. \((C)^{\prime}=0, C\) là hằng số
2. \((x)^{\prime}=1\)
3. \(\left(x^{\alpha}\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}\) \(\left(u^{a}\right)^{\prime}=\alpha \cdot u^{a-1} \cdot u^{\prime}\)
4. \(\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\) \(\left(\frac{1}{u}\right)^{\prime}=-\frac{u^{\prime}}{u^{2}}\)
5. \((\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) \((\sqrt{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{2 \sqrt{u}}\)
6. \(\left(e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}\) \(\left(e^{u}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^{u}\)
7. \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \cdot \ln a ; a \in \mathbb{R}^{+} \backslash\{1\}\) \(\left(a^{a}\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^{u} \cdot \ln a\)
8. \((\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}\) \((\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}\)
9. \(\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \cdot \ln a}\) \(\left(\log _{a} u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}\)
10. \((\sin x)^{\prime}=\cos x\) \((\sin u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \cos u\)
11. \((\cos x)^{\prime}=-\sin x\) \((\cos u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \sin u\)
12. \((\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\) \((\tan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\cos ^{2} u}=u^{\prime}\left(1+\tan ^{2} u\right)\)
13. \((\cot x)^{\prime}=\frac{-1}{\sin ^{2} x}=-1\left(1+\cot ^{2} u\right)\) \((\cot u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sin ^{2} u}=-u^{\prime}\left(1+\cot ^{2} u\right)\)
14. \((\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arcsin u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
15. \((\arccos x)^{\prime}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) \((\arccos u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}\)
16. \((\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}\) \((\arctan u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
17. \((\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{-1}{1+x^{2}}\) \((\operatorname{arccot} u)^{\prime}=\frac{-u^{\prime}}{1+u^{2}}\)
2 Bài tập ứng dụng
2.1 Ứng dụng vào vật lý
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t)=6 t^{2}-t^{3}-9 t+1, \mathrm{~s}\) tính theo mét, \(\mathrm{t}\) tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm \(\mathrm{t}\) mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:
A. \(t=3\).
B. \(t=1\).
C. \(t=2\).
D. \(t=4\).
Phân tích:
- Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết \(\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{s}^{\prime}(\mathrm{t})\). Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên \(\mathrm{t} \in[0 ; 5]\) thi ta chi cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.
Huớng dẫn giäi
\[v(t)=s^{\prime}(t)=12 t-3 t^{2}-9, v^{\prime}(t)=-6 t+12, v^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t=2 \text {. }\]Lập bảng biến thiên ta có:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\max _{\mathrm{t} \in(0 ; 5)} \mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{v}(2)=3\).. Đáp án \(C\).
2.2 Vào kinh tế
Một công ty nhận sản xuất 400.000 huy chương bạc nhân ngày kỷ niệm lần thứ 30 Apollo 11 đổ bô lên mặt Trăng. Công ty sở hữu 20 máy, mỗi máy có thể sản xuất 200 huy chương/giờ.
Chi phí lắp đặt máy để sản xuất huy chương là 80 USD/máy và tổng chi phí vận hành là 5,76 USD/giờ. Hãy biểu diễn chi phí sản xuât 400.000 huy chương bằng một hàm theo số máy đã dùng. Hãy uớc tính số máy mà công ty nên dùng đề chi phí nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Gọi \(x(1 \leq x \leq 20, x \in \square)\) là số máy sử dụng và \(C(x)\) là hàm tổng chi phí sản xuất tương ứng.
Chi phí lắp đặt các máy là \(80 x\)
Chi phí vận hành các máy là \(\frac{400000}{200 x} \cdot 5,76\)
Tổng chi phí \(=\) Chi phí lắp đặt + Chi phí vận hành \(\Rightarrow C(x)=80 x+\frac{11520}{x}\)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(C(x)\) với \(x \in[1 ; 20]\)
Ta có \(C^{\prime}(x)=80-\frac{11520}{x^{2}} \Rightarrow C^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=12(\mathrm{tm}) \\ x=-12(\mathrm{ktm})\end{array}\right.\)
Đồng thời \(\left\{\begin{array}{l}C(1)=11600 \\ C(20)=2176 \\ C(12)=1920\end{array} \Rightarrow \max _{x \in[1: 20]} C(x)=C(12)=1920 \Leftrightarrow x=12\right.\)
Vậy công ty nên sử dụng 12 máy để sản xuất thì tổng chi phí sẽ nhỏ nhất.
2,3 Các lĩnh vực khác
Bài toán 1: (Ứng dụng trong Sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật \(N(t)=1000+\frac{100 t}{100+t^{2}}\) (con vi khuẩn), trong đó \(t\) là thời gian (đơn vị giây)). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ?
Phân tích:
- Tương tự như những bài toán truớc, do đề bài đã mô hình hóa bài toán durới dạng hàm nên ta chi cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất cuia vi khuẩn.
Huớng dẫn giải
Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm \(t\) là
\[N^{\prime}(t)=\frac{100\left(100+t^{2}\right)-100 t(2 t)}{\left(100+t^{2}\right)^{2}}=\frac{100^{2}-100 t^{2}}{\left(100+t^{2}\right)^{2}}(\forall t\gt 0)\]Xét \(N^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t^{2}=100 \Leftrightarrow t=10>0\).
Lâp bảng biến thiên ta được:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận \(\max N(t)=N(10)=1005\).
Bài toán 2: (Ứng dụng trong Y Học). Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bời công thức \(G(x)=0,025 x^{2}(30-x)\) với \(x\) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( \(x:\) miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm?
Phân tích:
- Tương tự như những bài toán đã cho sã̃n hàm số, thì việc ứng dụng đạo hàm không còn quá khó khăn nữa.
Huớng dẫn giải.
\[G(x)=\frac{1}{40} x^{2}(30-x)=\frac{1}{40}\left(30 x^{2}-x^{3}\right) \Rightarrow G^{\prime}(x)=\frac{1}{40}\left(60 x-3 x^{2}\right)\]Cho \(G^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=20 \\ x=0(k t m)\end{array}\right.\)

Dựa vào bảng biến thiên ta có \(\max G(x)=100 \Leftrightarrow x=20\).
3. Một số bài tập trắc nghiệm nâng cao
Câu 1: Tìm \(a, b\) để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x-1} & k h i x \geq 0 \\ a x+b & k h i x\lt 0\end{array}\right.\) có đạo hàm tại điểm \(x=0\).
A. \(\left\{\begin{array}{l}a=-11 \\ b=11\end{array}\right.\).
B. \(\left\{\begin{array}{l}a=-10 \\ b=10\end{array}\right.\).
C. \(\left\{\begin{array}{l}a=-12 \\ b=12\end{array}\right.\).
D. \(\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=1\end{array}\right.\).
Chọn D.
Trước tiên hàm số phài liên tục tại \(x=0\)\(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1=f(0), \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=b \Rightarrow b=1\)Xét \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x-1}{x+1}=-1\)
\[\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} a=a\]Hàm số có đạo hàm tại \(x=0 \Leftrightarrow a=-1\)
Câu 2: Tìm \(a, b\) để hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a x^{2}+b x+1 & k h i x \geq 0 \\ a \sin x+b \cos x & k h i x\lt 0\end{array} \quad\right.\) có đạo hàm tại điểm \(x_{0}=0\)
A. \(a=1 ; b=1\).
B. \(a=-1 ; b=1\).
C. \(a=-1 ; b=-1\).
D. \(a=0 ; b=1\).
Hướng dẫn giāi
Chon A
Ta có: \(f(0)=1\)
\[\begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(a x^{2}+b x+1\right)=1 \\\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(a \sin x+b \cos x)=b\end{array}\]Để hàm số liên tục thì \(b=1\)
\[\begin{array}{l}f^{\prime}\left(0^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a x^{2}+x+1-1}{x}=1 \\f^{\prime}\left(0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{a \sin x+b \cos x-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2 a \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{x} \\=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(a \cos \frac{x}{2}\right)-\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sin \frac{x}{2}=a\end{array}\]Đề tồn tại \(f^{\prime}(0) \Rightarrow f^{\prime}\left(0^{+}\right)=f^{\prime}\left(0^{-}\right) \Leftrightarrow a=1\)
Giới hạn lượng giác \(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \Rightarrow \lim _{f(x) \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sinf}(x)}{f(x)}=1\)
Câu 3: Cho hàm số \(f(x)=x(x-1)(x-2) \ldots(x-1000)\). Tính \(f^{\prime}(0)\).
A. 10000 !
B. 1000 !
C. 1100 !.
D. 1110 !
Hướng dẫn giải
Chọn B.
\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(x-1)(x-2) \ldots(x-1000)-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}(x-1)(x-2) \ldots(x-1000) \\=(-1)(-2) \ldots(-1000)=1000!\end{array}\]Câu 4: Với hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{\pi}{x} & k h i \quad x \neq 0 \\ 0 & k h i \quad x=0\end{array}\right.\).
Để tìm đạo hàm \(f^{\prime}(x)=0\) một học sinh lập luận qua các bước như sau:
1. \(|f(x)|=|x| \cdot\left|\sin \frac{\pi}{x}\right| \leq|x|\).
2.Khi \(x \rightarrow 0\) thi \(|x| \rightarrow 0\) nên \(|f(x)| \rightarrow 0 \Rightarrow f(x) \rightarrow 0\).
3.Do \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0)=0\) nên hàm số liên tục tại \(x=0\).
4.Từ \(f(x)\) liên tục tại \(x=0 \Rightarrow f(x)\) có đạo hàm tại \(x=0\).
Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước:
A. Bước 1.
B. Bước 2.
C. Bước 3 .
D. Bước 4 .
Chọn D.
Một hàm số liên tục tại \(\mathrm{x}_{0}\) chưa chắc có đạo hàm tại điểm đó, hơn nữa \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\sin \frac{\pi}{x}\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow 0\)
Câu 5: Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{-x^{2}+2 x+3}{x^{3}-2}\) bằng biểu thức có dạng \(\frac{a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+a x+e}{\left(x^{3}-2\right)^{2}}\). Khi đó \(a+b+c+d+e\) bằng:
A. -12 .
B. -10 .
C. 8 .
D. 5 .
Chọn \(\underline{A}\).
\[\begin{array}{l}y^{\prime}=\frac{(-2 x+2)\left(x^{3}-2\right)-3 x^{2}\left(-x^{2}+2 x+3\right)}{\left(x^{3}-2\right)^{2}}=\frac{x^{4}-4 x^{3}-9 x^{2}+4 x-4}{\left(x^{3}-2\right)^{2}} \\\Rightarrow a+b+c+d+e=-12\end{array}\]Câu 6: Cho hàm số \(y=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos x}}}\) với \(x \in(0 ; \pi)\) có \(y^{\prime}\) là biếu thức có dạng a. \(\sin \frac{x}{8}\). Khi đó a nhận giá trị nào sau đây:
A. \(\frac{1}{4}\).
B. \(-\frac{1}{4}\).
C. \(\frac{1}{8}\).
D. \(-\frac{1}{8}\).
Chọn D.
Ta có : \(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos x}=\sqrt{\cos ^{2} \frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{2}\)
Tương tự ta có biểu thức tiếp theo: \(y=\sqrt{\cos ^{2} \frac{x}{8}}=\cos \frac{x}{8} \Rightarrow y^{\prime}=-\frac{1}{8} \sin \frac{x}{8}\)
Câu 7: Cho \(f(x)=\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\) và \(g(x)=3 \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x\). Tổng \(f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)\) bằng biểu thức nào sau đây?
A. \(6\left(\sin ^{5} x+\cos ^{5} x+\sin x \cdot \cos x\right)\).
B. \(6\left(\sin ^{5} x-\cos ^{5} x-\sin x \cdot \cos x\right)\).
C. 6 .
D. -0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=6 \sin ^{5} x \cdot \cos x+6 \cos ^{5} x \cdot(-\sin x)=6 \sin ^{5} x \cdot \cos x-6 \cos ^{5} x \cdot \sin x \\g^{\prime}(x)=\left(\frac{3}{4} \cdot \sin ^{2} 2 x\right)^{\prime}=\frac{3}{2} \sin 2 x \cdot 2 \cdot \cos 2 x\end{array}\]Suy ra:
\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=6 \cdot \sin x \cdot \cos x\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right)\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)+6 \sin x \cdot \cos x \cdot\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right) \\\Leftrightarrow-6 \sin x \cdot \cos x \cdot\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)+6 \sin x \cdot \cos x \cdot\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right)=0\end{array}\]Câu 8: Cho hàm số \(y=\cos ^{2} 2 x\). Giá trị của biểu thức \(y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+16 y^{\prime}+16 y-8\) là kết quả nào sau đây?
A._ 0 .
B. 8 .
C. \(\Leftrightarrow \cos x=\frac{1}{2}\).
D.\(\Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} .\)
Hướng dẫn giāi
\[\begin{array}{l}y^{\prime}=-2 \cos 2 x \cdot 2 \sin 2 x=-2 \sin 4 x, y^{\prime \prime}=-8 \cos 4 x, y^{\prime \prime \prime}=32 \sin 4 x . \\y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+16 y^{\prime}+16 y-8=32 \sin 4 x-8 \cos 4 x-32 \sin 4 x+16 \cos ^{2} 2 x-8 \\=16 \cos ^{2} 2 x-8 \cos 4 x-8=0 .\end{array}\]Chon A.
Câu 9: Cho hàm số \(f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}\). Tập các giá trị của \(x\) để \(2 x \cdot f^{\prime}(x)-f(x) \geq 0\) là:
A. \(-\left[\frac{1}{\sqrt{3}} ;+\infty\right)\).
B. \(\left(\frac{1}{\sqrt{3}} ;+\infty\right)\).
C. \(\left(-\infty ; \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).
D. \(\left[\frac{2}{\sqrt{3}} ;+\infty\right)\).
Hướng dẫn giải
Chọn A.
\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{f(x)}{\sqrt{x^{2}+1}} \Rightarrow 2 x \cdot f^{\prime}(x)-f(x) \geq 0 \Leftrightarrow 2 x \cdot \frac{f(x)}{\sqrt{x^{2}+1}}-f(x) \geq 0 \\\Leftrightarrow 2 x \geq \sqrt{x^{2}+1}\left(\text { do } f(x)\gt x+\sqrt{x^{2}}=x+|x| \geq 0\right) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\3 x^{2} \geq 1\end{array} \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}\right.\end{array}\]Vậy \(x \in\left[\frac{1}{\sqrt{3}} ;+\infty\right)\)
Câu 10: Cho hàm số \(y=f(x)=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)\). Phương trình \(f^{(4)}(x)=-8\) có các nghiệm thuộc đoạn \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) là:
A. \(x=0, x=\frac{\pi}{3}\).
B.. \(x=\frac{\pi}{2}\).
C. \(x=0, x=\frac{\pi}{2}\).
D. \(x=0, x=\frac{\pi}{6}\).
Hướng dẫn giāi
\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=-2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right), \quad f^{\prime \prime}(x)=-4 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right), \quad f^{\prime \prime \prime}(x)=8 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right), \\f^{(4)}(x)=16 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right) . \\f^{(4)}(x)=-8 \Leftrightarrow \cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\x=-\frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}(k \in \mathbb{Z}) .\right.\end{array}\]Vi \(x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) nên lấy được \(x=\frac{\pi}{2}\).
Chọn B.
4. Công cụ giúp bạn hoc tốt
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [ĐẠO HÀM]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại sao điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
Bài tập cuối chương I | 1 |
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.