Tìm hiểu ứng dụng đạo hàm
Đạo hàm là một kiến thức quan trọng mà khi bạn học thì bạn phải biết cách áp dụng vào bài tập. Cùng Examon luyện tập ngay.
Mục lục bài viết
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực giải tích. Đạo hàm của một hàm số tại một điểm cụ thể biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của hàm số đó tại điểm đó. Nói cách khác, đạo hàm cho biết hàm số thay đổi như thế nào khi giá trị đầu vào (biến số) thay đổi một lượng rất nhỏ.
Không chỉ quan trọng trong khi học THPT mà còn trong suốt quá trình học đại học . Bạn còn gặp rất nhiều vấn đề cần giải quyết. Việc ứng dụng đạo hàm vào các bài tập liên quan không đơn giản như việc áp dụng công thức là ra như những kiến thức toán học khác. Nó còn đặt biệt liên quan đến nhiều kiến thức khác nhau. Công thức, lý thuyết bạn phải nắm vững mới có thể làm tốt được đạo hàm.
Dưới đây là một số kiến thức quan trọng và bài tập ứng dụng của đạo hàm mà Examon tổng hợp được nhằm giúp bạn nâng cao điểm số của mình. Hãy nghiên cứu kỹ các nội udng phía dưới để nắm rõ hơn về đạo hàm nhé.
1. Phương pháp giải các bài tập ứng dụng
1.1 Tìm cực trị khoảng tăng giảm
TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa
Hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trong lân cận \(\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\) của điếm \(x_{0}\), khi đó vói mọi \(x \in\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)\)
Giá trị của hàm \(f\) trong lân cận điểm \(x_{0}\) Kết luận về hàm \(f\) tại điểm \(x_{0}\)
\(f(x) \leq f\left(x_{0}\right)\) \(x_{0}\) là điểm cực đại và \(f_{C D}=f\left(x_{0}\right)\)
\(f(x) \geq f\left(x_{0}\right)\) \(x_{0}\) là điểm cực tiểu và \(f_{C T}=f\left(x_{0}\right)\) Điểm cực đại và điểm cực tiếu được gọi chung là diểm cưc trị của hàm số.\(f_{C D}, f_{C T}\) : gọi chung là cưc trị hàm số.
- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Hàm số \(y=f(x)\) giảm trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\gt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).
Hàm số \(y=f(x)\) tăng trên khoảng \((a, b)\) nếu \(x_{1}\lt x_{2}\) thì \(f\left(x_{1}\right)\lt f\left(x_{2}\right)\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\).
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a, b)\).
\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) Kết luận về hàm \(f\) trên khoảng \((a, b)\)
\(f^{\prime}(x)\gt 0, \forall x \in(a, b)\) Tăng
\(f^{\prime}(x) \geq 0, \forall x \in(a, b)\) Không giảm
\(f^{\prime}(x)\lt 0, \forall x \in(a, b)\) Giảm
\(f^{\prime}(x) \leq 0, \forall x \in(a, b)\) Không tăn
Phương pháp tìm cực trị, khoảng tăng giảm
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên tập xác định \(D\) (có thế trừ ra hữu hạn điểm). Đế khảo sát tính đơn điệu và tìm cưc trị của \(f(x)\) ta tiến hành các bước sau:
Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\).
Bước 2. Tìm tất cả các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \in D\).(điểm tới hạn là điểm mà tại đó \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\) không xác định)
Bước 3. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm
Cách 1. Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm \(f^{\prime}(x)\).
Cách 2. Dùng đạo hàm cấp 2- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\gt 0\end{array} \longrightarrow f\right.\) đạt cưc tiểu tại điểm \(x_{0}\).- \(\left\{\begin{array}{l}f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0 \\ f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\lt 0\end{array} \Longrightarrow f\right.\) đạt cưc đại tại điểm \(x_{0}\).
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\gt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) tăng (đồng biến) trên khoảng đó.
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\lt 0\) trên khoảng \((a, b)\) thì \(f(x)\) giảm (nghịch biến) trên khoảng đó.
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ âm sang durong khi \(x\) vươt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).
\(\checkmark\) Nếu \(f^{\prime}(x)\) đối dấu từ duơng sang âm khi \(x\) vượt qua \(x_{0}\) thì \(f(x)\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).
- BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\Leftrightarrow 4 x^{2}(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=3 .\]\(\checkmark\) Bảng biến thiên
Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với
\[y_{c T}=y(3)=-22 .\]Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).
\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)
\[\begin{array}{l}=\frac{2 x^{4}-3 x^{4}+9 x^{2}}{x^{6}} \\=\frac{9-x^{2}}{x^{4}} .\end{array}\]Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)
\[\Leftrightarrow x=3 \vee x=-3 \text {. }\]
Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).
1.2 GTLN & GTNN
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Định nghĩa:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\).
\(\checkmark\) Số \(M\) được gọi là giá trị lón nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu
\[\left\{\begin{array}{l}\forall x \in D: f(x) \leq M \\\exists x_{1} \in D: f\left(x_{1}\right)=M\end{array}\right.\]Ký hiệu: \(M=\max _{D} f(x)\)
\(\checkmark\) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu
\[\left\{\begin{array}{l}\forall x \in D: f(x) \geq m \\\exists x_{2} \in D: f\left(x_{2}\right)=m\end{array}\right.\]Ký hiệu: \(m=\min _{D} f(x)\)
\(\checkmark\) Đoạn \([m, M]\) gọi là miền giá trị của hàm số \(y=f(x)\).
Phương pháp giải GTLN & GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]
Bước 1. Tính đạo hàm \(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\) rồi suy ra các điểm tới hạn \(x_{1}, x_{2}, \ldots\) của hàm số \(y=f(x)\) trên \([a, b]\).
Bước 2. Tính giá trị \(f(a), f(b), f\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots\)
Bước 3. So sánh tất cả các giá trị đó ta suy ra được GTLN & GTNN.
Chú ý
Để tìm GTLN và GTNN của \(y=f(x)\) trên các khoảng hay nửa khoảng ta cần phải lập bảng biến thiên.
- BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Ví dụ : Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).
Bài giải
Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).
Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \in[0,4] \\x=3 \in[0,4]\end{array} .\right.\end{array}\]\[\begin{array}{ll}y(0)=1, & y(1)=-42, \\y(3)=-26, & y(4)=-15 .\end{array}\]Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)
và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).
2. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=x^{4}-4 x^{3}+5\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miên xác định \(D=\mathbb{R}\).\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=4 x^{3}-12 x^{2}=4 x^{2}(x-3)\).Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\Leftrightarrow 4 x^{2}(x-3)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=3 .\]\(\checkmark\) Bảng biến thiên
Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \(y\) tăng trên \((3,+\infty)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=3\) với
\[y_{c T}=y(3)=-22 .\]Ví dụ 2 Khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số \(y=\frac{x^{2}-3}{x^{3}}\).
Bài giải
\(\checkmark\) Miền xác định \(D=\mathbb{R} \backslash\{0\}\).
\(\checkmark\) Ta có \(y^{\prime}=\frac{2 x \cdot x^{3}-3 x^{2}\left(x^{2}-3\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}\)
\[\begin{array}{l}=\frac{2 x^{4}-3 x^{4}+9 x^{2}}{x^{6}} \\=\frac{9-x^{2}}{x^{4}} .\end{array}\]Do đó \(\quad y^{\prime}=0 \Leftrightarrow 9-x^{2}=0\)
\[\Leftrightarrow x=3 \vee x=-3 \text {. }\]Vậy
- \(y\) giảm trên \((-\infty, 3)\) và \((3,+\infty)\), \(y\) tăng trên \((-3,0)\) và \((0,3)\).
- \(y\) đạt cực tiểu tại \(x=-3\) với \(y_{C T}=y(-3)=-\frac{2}{9}\) và đạt cực đại tại \(\dot{x} \cdot 3\) với \(y_{C D}=y(3)=\frac{2}{9}\).
Ví dụ 3: Tìm GTLN & GTNN của hàm số \(y=3 x^{4}-28 x^{3}+90 x^{2}-108 x+1\) trên đoạn \([0,4]\).
Bài giải
Ta có \(\quad y^{\prime}=12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108\).
Do đó \(\quad y^{\prime}=0\)
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow 12 x^{3}-84 x^{2}+180 x-108=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \in[0,4] \\x=3 \in[0,4]\end{array} .\right.\end{array}\]\[\begin{array}{ll}y(0)=1, & y(1)=-42, \\y(3)=-26, & y(4)=-15 .\end{array}\]Vậy \(\quad \max _{0,4} y(x)=y(0)=1\)
và \(\min _{[0,4]} y(x)=y(1)=-42\).
3. Bài tập Trắc nghiệm tự luyện
Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=2 m x-m x^{3}\). Số \(x=1\) là nghiệm của bất phương trình \(f^{\prime}(x) \leq 1\) khi và chỉ khi:
A. \(m \geq 1\).
B. \(m \leq-1\).
C. \(-1 \leq m \leq 1\).
D. \(m \geq-1\).
Hướng dẫn giải
Có \(f(x)=2 m x-m x^{3} \Rightarrow f^{\prime}(x)=2 m-3 m x^{2}\).
Nên \(f^{\prime}(1) \leq 1 \Leftrightarrow 2 m-3 m \leq 1 \Leftrightarrow m \geq-1\).
Chọn D
Câu 2: Đạo hàm của \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}\) bằng :
A. \(6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\).
B. \(6 x^{5}+16 x^{3}\).
C. \(6 x^{5}-20 x^{4}+4 x^{3}\).
D. \(6 x^{5}-20 x^{4}-16 x^{3}\).
Hướng dẫn giải
Cách 1: Áp dụng công thức \(\left(u^{n}\right)^{\prime}\)
Ta có \(y^{\prime}=2 \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{\prime}=2\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \cdot\left(3 x^{2}-4 x\right)\)
\(=6 x^{5}-8 x^{4}-12 x^{4}+16 x^{3}=6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\)
Cách 2 : Khai triển hằng đẳng thức :
Ta có: \(y=\left(x^{3}-2 x^{2}\right)^{2}=x^{6}-4 x^{5}+4 x^{4} \Rightarrow y^{\prime}=6 x^{5}-20 x^{4}+16 x^{3}\)
Chọn A
Câu 3: Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{x}}{x} & \text { khi } x\gt 0 \\ 0 & \text { khi } x=0\end{array}\right.\). Xét hai mệnh đề sau:
(I) \(f^{\prime}(0)=1\).
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \(\mathrm{x}_{0}=0\).
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chi (II).
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải
Gọi \(\Delta x\) là số gia của đối số tại 0 sao cho \(\Delta x>0\).
Ta có \(f^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x+0)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta^{2} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta x \sqrt{\Delta x}}=+\infty\).
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0 .
Chọn B.
Câu 4: Đạo hàm của hàm số \(y=\frac{\cos 2 x}{3 x+1}\) là
A. \(y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
B. \(y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{3 x+1}\).
C. \(y^{\prime}=\frac{-\sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
D. \(y^{\prime}=\frac{2 \sin 2 x(3 x+1)+3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y^{\prime}=\frac{(\cos 2 x)^{\prime}(3 x+1)-(3 x+1)^{\prime} \cdot \cos 2 \mathrm{x}}{(3 x+1)^{2}} \Rightarrow y^{\prime}=\frac{-2 \sin 2 x(3 x+1)-3 \cos 2 x}{(3 x+1)^{2}}\).
Chọn đáp án \(\mathbf{A}\).
Câu 5: Đạo hàm cấp \(n\) (với \(n\) là số nguyên dương) của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\) là:
A. \(\frac{(-1)^{n} n}{(x-1)^{n+1}}\).
B. \(\frac{n!}{(x-1)^{n+1}}\).
C. \(\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n+1}}\).
D. \(\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n}}\).
Hướng dẫn giải
\[\begin{array}{l}\text { Có } y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}=-1 \cdot(x-1)^{-2} \\y^{\prime \prime}=\frac{2 \cdot(x-1)}{(x-1)^{4}}=2!\cdot(x-1)^{-3} ; \\y^{\prime \prime \prime}=-\frac{2 \cdot 3(x-1)^{2}}{(x-1)^{6}}=-6 \cdot(x-1)^{-4}=-3!\cdot(x-1)^{-4} ;\end{array}\]Dự đoán \(y^{(n)}(x)=(-1)^{n} n!.(x-1)^{-n-1}=\frac{(-1)^{n} n!}{(x-1)^{n+1}}\).
Thật vậy: Dễ thấy MĐ đúng khi \(n=1\).
Giả sử MĐ đúng khi \(n=k(k \geq 1)\), tức là ta có \(y^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k} k!}{(x-1)^{k+1}}\).
Khi đó \(y^{(k+1)}(x)=\left[y^{(k)}(x)\right]^{\prime}=\left[\frac{(-1)^{k} k!}{(x-1)^{k+1}}\right]^{\prime}=-\frac{(-1)^{k} k!\cdot(k+1)(x-1)^{k}}{(x-1)^{2 k+2}}=\frac{(-1)^{k+1} \cdot(k+1)!}{(x-1)^{k+2}}\).
Vậy MĐ đúng khi \(n=k+1\) nên nó đúng với mọi \(n\).
Chọn \(\mathbf{C}\).
Câu 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{2-3 x}{x-1}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
A. 9 .
B. \(\frac{1}{9}\).
C. -9 .
D. \(-\frac{1}{9}\).
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \backslash\{1\}\).
Đạo hàm: \(y^{\prime}=\frac{1}{(x-1)^{2}}\).
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(A\left(\frac{2}{3} ; 0\right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là \(y^{\prime}\left(\frac{2}{3}\right)=9\).
Câu 7 : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}+3 x\) tại điểm có hoành độ \(x_{0}=-1\) là:
A. \(y=10 x+4\).
B. \(y=10 x-5\).
C. \(y=2 x-4\).
D. \(y=2 x-5\).
Hướng dẫn giải:
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
Đạo hàm: \(y^{\prime}=3 x^{2}-4 x+3\).
\[y^{\prime}(-1)=10 ; y(-1)=-6\]Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \((d): y=10(x+1)-6=10 x+4\).
Chọn A.
Câu 8 : Trên đồ thị của hàm số \(y=\frac{1}{x-1}\) có điểm \(M\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 . Tọa độ \(M\) là:
A. \((2 ; 1)\).
B. \(\left(4 ; \frac{1}{3}\right)\).
C. \(\left(-\frac{3}{4} ;-\frac{4}{7}\right)\).
D. \(\left(\frac{3}{4} ;-4\right)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y^{\prime}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\). Lấy điểm \(M\left(x_{0} ; y_{0}\right) \in(C)\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y=-\frac{1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}} \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{x_{0}-1}\)(4).
Giao với trục hoành: \((\Delta) \cap O x=A\left(2 x_{0}-1 ; 0\right)\).
Giao với trục tung: \((\Delta) \cap O y=B\left(0 ; \frac{2 x_{0}-1}{\left(x_{0}-1\right)^{2}}\right)\)
\(S_{O A B}=\frac{1}{2} O A \cdot O B \Leftrightarrow 4=\left(\frac{2 x_{0}-1}{x_{0}-1}\right)^{2} \Leftrightarrow x_{0}=\frac{3}{4}\). Vậy \(M\left(\frac{3}{4} ;-4\right)\).
Chọn \(\mathbf{D}\).
Câu 9: Cho hàm số \(y=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}-2\) có đồ thị hàm số \((C)\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y^{\prime \prime}=0\) là
A. \(y=-x-\frac{7}{3}\)
B. \(y=-x+\frac{7}{3}\)
C. \(y=x-\frac{7}{3}\)
D. \(y=\frac{7}{3} x\)
HDG:
Ta có \(y^{\prime}=x^{2}+2 x\) và \(y^{\prime \prime}=2 x+2\)
Theo giả thiết \(x_{0}\) là nghiệm của phương trình \(y^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0 \Leftrightarrow 2 x+2=0 \Leftrightarrow x_{0}=-1\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left(-1 ;-\frac{4}{3}\right)\) là: \(y=-x-\frac{7}{3}\)
4. Lời khuyên khi học đạo hàm
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [ĐẠO HÀM ]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
