Ứng dụng của cấp số nhân trong lĩnh vực vật lý

1. Phương pháp giải

Tính khối lượng nguyên tố phóng xạ \(X\) còn lại sau k chu kì bán rã

Già sử ban đầu có \(\mathrm{m}_{0} \mathrm{~g}\) nguyên tố phóng xạ \(\mathrm{X}\).

Sau \(\mathrm{k}\) chu kì bán rã khối lượng còn lại :

\[\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k}\]

Nếu thời gian phân rã t, chu kì phân rã T thì \(\mathrm{k}=\frac{t}{T}\).

Vậy sau \(t\) thời gian phân rã khối lượng còn lại:

\[\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}=\mathrm{m}_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\]

Tính số hạt nhân còn lại sau thời gian t phân rã

Giả sử số hạt nhân ban đầu \(\mathrm{N}_{0}\)

Số hạt nhân còn lại : \(\mathrm{N}=\mathrm{N}_{0} .2^{-\frac{t}{T}}\)

Tính độ phóng xạ của mấu chất phóng xạ còn lại sau thời gian t phân rã

\[\mathrm{H}=\mathrm{H}_{0} .2^{-\frac{t}{T}}\]

Xác định tuổi của mẫu vật có chứa chất phóng xạ

\[\begin{aligned}\mathrm{N} & =\mathrm{N}_{0} .2^{-\frac{t}{T}} \Rightarrow t=\frac{T . \ln \frac{N_{0}}{N}}{\ln 2} \\\mathrm{H} & =\mathrm{H}_{0} .2^{-\frac{t}{T}} \Rightarrow t=\frac{T . \ln \frac{H_{0}}{H}}{\ln 2}\end{aligned}\]

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Hạt nhân \({ }_{88}^{224}\) Ra phóng ra một hạt \(\alpha\), một photon \(\gamma\) và tạo thành \({ }_{Z}^{4} \mathrm{X}\). Một nguồn phóng xạ Ra có khối lượng ban đầu \(\mathrm{m}_{0}\), sau 14,8 ngày khối lượng của nguồn còn lại \(2,24 \mathrm{~g}\). Cho biết chu kỳ bán rã của \({ }_{88}^{224} \mathrm{Ra}\) là 3,7 ngày và số Avogaro là NA\(=6,02.10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}\)

a)Tìm \(\mathrm{m}_{0}\)

b) Số hạt nhân \({ }_{88}^{224} \mathrm{Ra}\) bị phân rã và khối lượng \({ }_{88}^{224}\) Ra bị phân rã.

Lời giải chi tiết

a) Tính \(\mathrm{m}_{0}\) :

Theo công thức \(\mathrm{m}=\mathrm{m}_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{T}}\)

\[\Rightarrow \mathrm{m}_{0}=\mathrm{m} \cdot 2^{\frac{t}{T}}=2,24 \cdot 2^{\frac{14,8}{3,4}}=2,24 \cdot 2^{4}=35,84 \mathrm{~g}\]

b) Số hạt nhân Ra đã bị phân rã:

\(\Delta \mathrm{N}=\mathrm{N}_{0}-\mathrm{N}_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{T}}=\mathrm{N}_{0} \cdot\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)\)

\(=\frac{m_{0}}{A} \cdot N_{A}\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)\)

=\(\frac{35,84}{224} \cdot 6,02 \cdot 10^{23}\left(1-2^{-4}\right)=0,903 \cdot 10^{23}\)(nguyên tử)

Khối lượng Ra bị phân rã:

\(\Delta \mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}-\mathrm{m}_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{T}}=\mathrm{m}_{0} \cdot\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)=33,6 \mathrm{~g}\)

Hoặc \(\Delta \mathrm{m}=\mathrm{m}_{0}-\mathrm{m}=35,84-2,24=33,6 \mathrm{~g}\)

2.2 Ví dụ 2

Chu kì bán rã của nguyên tố phóng xạ Poloni 210 là 138 ngày (nghĩa là sau 138 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn lại một nửa). Tính khối lượng còn lại của 20 gam Poloni 210 sau 7314 ngày (khoảng sau 20 năm).

Lời giải chi tiết

Gọi \(u_{n}\) (gam) là khối lượng còn lại của 20 gam Poloni 210 sau \(\mathrm{n}\) chu kì bán rã.

Ta có 7314 gồm 53 chu kì bán rã.

Theo đề bài ta có cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với

\(u_{1}=20: 2=10\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\)

nên \(u_{53}=10 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{52} \approx 2,22 \cdot 10^{-15}\) (gam).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Hạt nhân \({ }_{6}^{14} \mathrm{C}\) là một chất phóng xạ, nó phóng ra tia \(\beta^{-}\)có chu kì bán rã là 5730 năm.

a) Sau bao lâu lượng chất phóng xạ của một mẫu chỉ còn bằng \(1 / 8\) lượng chất phóng xạ ban đầu của mẫu đó?

b) Trong cây cối có chất \({ }_{6}^{14} C\). Độ phóng xạ của một mẫu gỗ tươi và một mẫu gỗ cổ đại đã chết cùng khối lượng lần lượt là \(0,250 \mathrm{~Bq}\) và \(0,215 \mathrm{~Bq}\). Xác định xem mẫu gỗ cổ đại đã chết cách đây bao lâu?

A. 1719 năm; 250 năm

B. 5730 năm; 1250 năm

C. 17190 năm; 2500 năm

D. 17190 năm; 1250 năm

Bài 2 : Để xác định tuổi một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cứu đã lấy một mẩu nhỏ ở quan tài và đo độ phóng xạ được \(0,15 \mathrm{~Bq}\). So sánh với một mẩu gỗ cùng khối lượng, cùng loại vừa mới hạ, độ phóng xạ đo được là \(0,25 \mathrm{~Bq}\). Xác định tuối cưa ngôi mộ cồ. Biết chu kì bán rã là 5570 năm.

Bài 3: Ban đầu một mẫu chất phóng xạ nguyên chất có \(\mathrm{N}_{0}\) hạt nhân. Biết chu kì bán rã của chất phóng xạ này là \(T\). Sau thời gian \(3 T\), kể từ thời điểm ban đầu, số hạt chưa phân rã của mẫu chất phóng xạ này là

A. \(\frac{\mathrm{N}_{0}}{4}\)

B. \(\frac{\mathrm{N}_{0}}{8}\)

C. \(\frac{3 \mathrm{~N}_{0}}{4}\)

D. \(\frac{7 \mathrm{~N}_{0}}{8}\)

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Như vậy, Examon đã tóm tắt lại toàn bộ kiến thực về cách áp dụng cấp số nhân vào bài toán thuộc lính vực vật lý. Hy vong bài viết sẽ giúp các bạn củng cố thêm kiến thức và mở rộng thêm nhiều các giải bài tập hay. Đồng hành cùng Examon để thấy toán học thú vị hơn chúng ta nghĩ rất nhiều.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!