Top những dạng bài ứng dụng Nguyên hàm hay gặp nhất

? Hãy tính thể tích của vật thể tạo thành bằng cách quay vùng dưới đồ thị của hàm số y=\(\sqrt{x}\) từ x=0 đến x=4 quay trục x

Lời giải:

Thể tích V của vật thể tạo thành khi quay quanh trục x được tính bằng tích phân:

V=\(\pi \int_{0}^{4}(\sqrt{x})^{2} d x=\pi \int_{0}^{4} x d x\)

Tìm nguyên hàm của x:

\(\int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 0->4:

V=\(\pi\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{4}=\pi\left(\frac{4^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}\right)\)

\(=\pi\left(\frac{16}{2}\right)=8 \pi\)

? Giai phương trình vi phân \(\frac{d y}{d x}=3 x^{2}\) với điều kiện y(1)=4

Lời giải:

\(y=\int 3 x^{2} d x=3\left(\frac{x^{3}}{3}\right)+C=x^{3}+C\)

điều kiện y(1)=4:

\(y(1)=1^{3}+C=4 \Rightarrow C=3\)

=> nghiệm của phương trình: \(y=x^{3}+3\)

? Hàm chi phí cận biên \(M C(q)=5 q+20\). Biết tổng chi phí khi sản xuất sản phẩm 0 đơn vị sản phẩm là 100. Tính tổng hci phí TC(q) khi sản xuất q đơn vị

Lời giải:

Tổng chi phí là nguyên hàm của hàm chi phí cận biên

\(T C(q)=\int(5 q+20) d q=5\left(\frac{q^{2}}{2}\right)+20 q+C\)

\(=\frac{5 q^{2}}{2}+20 q+C\)

Dùng điều kiện TC(0)=100

\(T C(0)=\frac{5 \cdot 0^{2}}{2}+20 \cdot 0+C=100 \Rightarrow C=100\)

=> Tổng chi phí: 

TC(q)= \(\frac{5 q^{2}}{2}+20 q+100\)

? Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục là \(f(x)=2 x\) với \(0 \leq x \leq 1\). Tính hàm phân phối xác suất tích lũy F(x)

Lời giải:

Hàm phân phối tích lũy là nguyên hàm của mật độ xác suất

\(F(x)=\int 0^{x} 2 t d t=2\left(\frac{t^{2}}{2}\right)+C=t^{2}+C\)

vì F(0)=0

=> \(F(0)=0^{2}+C=0 \Rightarrow C=0\)

Vậy hàm phân phối xác suất tích lũy: \(F(x)=x^{2}\)

? Tính diện tích vùng giới hạn bởi đường cong y = \(x^{2}\), trục hoành, và đường thẳng x=1, x=3

Lời giải

Diện tích cần tính là tích phân xác định của hàm số \(y=x^{2}\) từ \(x=1\) đến x=3: 

\(\int_{1}^{3} x^{2} d x\)

Nguyên hàm của \(x^{2}\): 

\(\int x^{2} d x=\frac{x^{3}}{3}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 1->3:

\(\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\)

? Một vật di chuyển dọc theo trục x dưới tác dụng của lực F(x)=4x. Tính công thực hiện bởi lực này khi vật di chuyển từ x=1 -> x=3

Lời giải:

Công thực hiện bởi lực F(x) khi vật di chuyển từ x=1 đến x=3 là tích phân xác định của F(x) từ 1 đến 3:

\(\int_{1}^{3} 4 x d x\)

Tìm nguyên hàm của 4x:

\(\int 4 x d x=4\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=2 x^{2}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 1 đến 3:

\(\left[2 x^{2}\right]_{1}^{3}=2 \cdot 3^{2}-2 \cdot 1^{2}\)

\(=2 \cdot 9-2=18-2=16\)

? Gia tốc của một vật là a(t)=6t. Biết vận tốc ban đầu v(0)=2. Tính vận tốc và quãng đường mà vật di chuyển được từ t=0 đến t=2

Lời giải:

Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc:

\(v(t)=\int 6 t d t=6\left(\frac{t^{2}}{2}\right)+C=3 t^{2}+C\)

Dùng điều kiện ban đầu v(0)=2:

\(v(0)=3 \cdot 0^{2}+C=2 \Rightarrow C=2\)

Vậy vận tốc:

\(v(t)=3 t^{2}+2\)

Quãng đường di chuyển được từ t=0 đến t=2:

\(s=\int_{0}^{2} v(t) d t=\int_{0}^{2}\left(3 t^{2}+2\right) d t\)

\(=\int_{0}^{2} 3 t^{2} d t+\int_{0}^{2} 2 d t\)

Tìm nguyen hàm:

\(\int 3 t^{2} d t=t^{3}+C \quad\) và \(\quad \int 2 d t=2 t+C\)

Áp dụng giới hạn từ 0 -> 2

\(\left[t^{3}\right]_{0}^{2}+[2 t]_{0}^{2}=2^{3}-0^{3}+2(2-0)=8+4=12\)

? Lưu lượng dòng chảy qua một ống dẫn được cho bởi R(t)=\(3 t^{2}+2 t\). Tính tổng lượng nước chảy qua ống từ t=0 đến t=3

Lời giải:

Tổng lượng nước chảy qua ống là tích phân xác định của R(t) từ 0->3:

\(\int_{0}^{3}\left(3 t^{2}+2 t\right) d t\)

Ta tìm nguyên hàm:

\(\int 3 t^{2} d t=t^{3}+C \quad\) và \(\quad \int 2 t d t=t^{2}+C\)

Áp dụng giới hạn từ 0 đến 3:

\(\left[t^{3}+t^{2}\right]_{0}^{3}=\left(3^{3}+3^{2}\right)-\left(0^{3}+0^{2}\right)\)

\(=(27+9)-0=36\)

Bạn đã từng tự trêu mình rằng " Học tài thi phận " ? Học rất nhiều, giải rất nhiều và luyện đề cũng rất nhiều nhưng chỉ nhận lại bốn chữ ấy . Có thể là bạn đang nhầm lẫn, chưa tìm ra cách học mới và còn sử dụng những bộ đề thời xa xưa. 

Đừng lo nhé vì chúng mình Examon sẽ đưa bạn đến với thế giới của " HỌC TÀI THI TÀI" với hệ thống được nghiên cứu, thiết kế và chỉ dành riêng cho các bạn. 

Với các chiến thuật luyện đề như sau :

- Nhân biết các dang bài thi quan trong.

- Thưc hành vớc các phương pháp làm bài tối ưu.

- Thôngthao kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho moi kỳ thi.

Dưới đây Examon sẽ hướng dẫn ban cách luyện đề hiệu quả với hê thống đề của Examon:

- Bước 1: Tao và Đăng nhâp tài khoản Đầu tiên, các ban cần có môt tài khoản Examon. 

- Bước 2: Tiếp theo, hãy chon lớp hoc, môn hoc mà bạn muốn luyện và khu vực đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất.

- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

- Bước5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!