Tổng ôn Nguyên hàm lượng giác

\(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

\(\int \cos x d x=\sin x+C\)

\(\int \tan x d x=-\ln |\cos x|+C\)

\(\int \cot x d x=\ln |\sin x|+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

\(\int \frac{1}{\sin x} d x=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C\)

\(\int \frac{1}{\cos x} d x=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C\)

\(\int \sin u d u=-\cos u+C\)

\(\int \cos u d u=\sin u+C\)

\(\int \tan u \cdot d u=-\ln |\cos u|+C\)

\(\int \cot u d u=\ln |\sin u|+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} u} d u=-\cot u+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} d u=\tan u+C\)

\(\int \frac{1}{\sin u} d u=\ln \left|\tan \frac{u}{2}\right|+C\)

\(\int \frac{1}{\cos u} d u=\ln \left|\tan \left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C\)

\(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a}\)cos (ax+b)+C

\(\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a}\)sin(ax+b)+C

\(\int \tan (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|\)+C

\(\int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

\(\int \frac{d x}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+C\)

\(\int \frac{d x}{\cos (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}+\frac{\pi}{4}\right|+C\)

Nguyên hàm \(I=\int \sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x\)

TH1:

Nếu m=2k+1 => \(\int \sin ^{2 k} x \cdot \cos ^{n} x \cdot \sin x d x\)

= \(-\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{k} \cdot \cos ^{n} x d(\cos x)\)

=> đặt t=cosx

TH2:

Nếu n=2k+1 => đặt t = sinx

TH3:

Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng:

• I=\(\int f{\left( \sin{x} \right )} \cos{x} dx = \int f{\left( \sin{x} \right )} d \left( \sin{x} \right )\)

=> đặt t = sinx

• I= \(\int f(\cos x) \sin x d x=-\int\)(cosx)d(cosx)

=> đặt t = cosx

Nguyên hàm I=\(\int \frac{d x}{\sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x}\)

TH1:

Nếu m=2k+1

=> I=\(\int \frac{\sin x d x}{\sin ^{2 k+2} x \cdot \cos ^{n} x}=-\int \frac{d(\cos x)}{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{k+1} \cdot \cos ^{n} x}\)

khi đó ta đặt t=cosx

TH2:

 Nếu n=2k+1

=> ta đặt t = sinx

TH3:

Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi

\(\frac{1}{\sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x}=\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x} \ldots\)

Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức

\(\frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\cot ^{2} x ; \frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx

\(A \sin ^{2} x+B \sin x \cos +C \cos ^{2} x\)

=> thì ta cha cả tử và mẫu số cho \(\cos ^{2} x\)

Chú ý: 

Khi I\(=\int \frac{f(\tan x)}{\cos ^{2} x} d x=\int f(\tan x) d(\tan x)\)

=> đặt t = tanx

Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

\(\int \cos a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x+\cos (a-b) x] d x\)

\(\int \sin a x \cdot \sin b x d x=-\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x-\cos (a-b) x] d x\)

\(\int \sin a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x+\sin (a-b) x] d x\)

\(\int \cos a x \cdot \sin b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x-\sin (a-b) x] d x\)

Nguyên hàm  \(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\)

ta có :

\(I=\int \frac{d x}{2 a \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+b\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}\right)+c\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}+\cos ^{2} \frac{x}{2}\right)}\)

\(\int \frac{d x}{m \sin ^{2} \frac{x}{2}+n \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+p \cos ^{2} \frac{x}{2}}=\int \frac{d x}{\cos ^{2} \frac{x}{2}\left(m \tan ^{2} \frac{x}{2}+n \tan \frac{x}{2}+p\right)}\)

\(\xrightarrow{t=\tan \frac{x}{2}} I=\int \frac{d t}{m t^{2}+n t+p}\)

Tính các nguyên hàm sau

a) \(I=\int \frac{\cos ^{3} x}{1+\sin x} d x\)

b) \(I=\int \frac{(2+\cos x) d x}{\sin x}\)

c) \(I=\int \frac{d x}{\sin x \cdot \cos ^{2} x}\)

d) \(I=\int \frac{d x}{\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x}\)

giải:

a) \(I=\int \frac{\cos ^{3} x}{1+\sin x} d x=\int \frac{\cos ^{2} x d(\sin x)}{1+\sin x}\)

= \(\frac{\left(1-\sin ^{2} x\right) d(\sin x)}{1+\sin x}=\int(1-\sin x) d(\sin x)\)

= \(\sin x-\frac{\sin ^{2} x}{2}+C\)

b) \(I=\int \frac{(2+\cos x) d x}{\sin x}=\int \frac{2 d x}{\sin x}+\int \frac{\cos x d x}{\sin x}\)

= \(\frac{2 \sin x d x}{\sin ^{2} x}+\int \frac{d(\sin x)}{\sin x}=-\int \frac{2 d(\cos x)}{1-\cos ^{2} x}+\ln |\sin x|\)

= \(=\ln \left|\sin x \cdot \frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+C\)

c) \(I=\int \frac{d x}{\sin x \cdot \cos ^{2} x}=\int \frac{\sin x d x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x}\)

= \(-\int \frac{d(\cos x)}{\left(1-\cos ^{2} x\right) \cos ^{2} x} \xrightarrow{t=\cos x} I=\int \frac{d t}{t^{2}\left(t^{2}-1\right)}\)

= \(\int\left(\frac{1}{t^{2}-1}-\frac{1}{t^{2}}\right) d t=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+\frac{1}{t}+C\)

= \(\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\cos x-1}{\cos x+1}\right|+\frac{1}{\cos x}+C\)

d) \(I=\int \frac{d x}{\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x}=\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{4} x \cos ^{2} x} d x=\int \frac{d x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x}+\int \frac{d x}{\sin ^{4} x}\)

\(=\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x+\int \frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin ^{4} x} d x\)

\(=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2} x}\right) d x+\int\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}+\frac{1}{\sin ^{2} x} \cdot \cot ^{2} x\right) d x\)

\(=\tan x-2 \cot x-\int \cot ^{2} x d(\cot x)\)

= \(\tan x-2 \cot x-\frac{\cot ^{3} x}{3}+C\)

Tính các nguyên hàm sau 

a) \(I=\int \tan ^{4} x d x\)

b) \(I=\int \frac{\tan ^{4} x}{\cos 2 x} d x\)

c) \(I=\int \sin 2 x \cos 3 x d x\)

d) \(I=\int \sin ^{2} x \cos 3 x d x\)

giải:

a) \(I=\int \tan ^{4} x d x=\int \tan ^{2} x \tan ^{2} x d x\)

= \(\int \tan ^{2} x\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-1\right) d x\)

\(=\int \frac{\tan ^{2} x}{\cos ^{2} x} d x-\int \tan ^{2} x d x\)

= \(\int \tan ^{2} x d(\tan x)-\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-1\right) d x\)

= \(\frac{\tan ^{3} x}{4}-\tan x+x+C\)

b) \(I=\int \frac{\tan ^{4} x}{\cos 2 x} d x=\int \frac{\tan ^{4} x d x}{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}\)

\(\int \frac{\frac{\tan ^{4} x}{\cos ^{2} x}}{1-\tan ^{2} x} d x \xrightarrow{t=\tan x} I=\int \frac{t^{4} d t}{1-t^{2}}\)

\(=\int \frac{t^{4}-1+1}{1-t^{2}} d t=-\int\left(t^{2}+1+\frac{1}{t^{2}-1}\right) d t\)

\(=-\frac{t^{3}}{3}-t-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C\)

=> I = \(-\frac{\tan ^{3} t}{3}-\tan t-\frac{1}{2} \ln \left|\frac{\tan t-1}{\tan t+1}\right|+\) C

c) \(I=\int \sin 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{2} \int(\sin 5 x-\sin x) d x\)

= \(-\frac{\cos 5 x}{10}+\frac{\cos x}{2}+C\)

d) \(I=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} \cos 3 x d x=\frac{1}{2} \int(\cos 3 x-\cos 2 x \cos 3 x) d x\)

\(=\frac{1}{2} \frac{\sin 3 x}{3}-\frac{1}{2} \int \cos 2 x \cos 3 x d x\)

\(=\frac{\sin 3 x}{6}-\frac{1}{4} \int(\cos 5 x+\cos x) d x\)

\(=\frac{\sin 3 x}{6}-\frac{\sin 5 x}{20}-\frac{\sin x}{4}+C\)