Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Toán học diệu kỳ, khám phá cấp số nhân, chinh phục tổng n số hạng đầu tiên với Examon.
Mục lục bài viết
Toán học ẩn chứa vô vàn điều kỳ diệu, và một trong số đó là vẻ đẹp của các cấp số. Ở thế giới toán học muôn màu, cấp số nhân nổi lên như một dãy số đầy lôi cuốn, ẩn chứa quy luật phát triển độc đáo và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng sau bằng tích của số hạng trước với một số khác không bằng 0 (gọi là công bội). Dãy số này ẩn chứa một quy luật phát triển độc đáo, nơi mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng trước với một giá trị cố định.
Trong thế giới đầy mê hoặc này, cấp số nhân như một bản giao hưởng của các con số, nơi mỗi nốt nhạc ngân vang theo một tỷ lệ nhất định, tạo nên giai điệu tăng hoặc giảm đầy lôi cuốn. Và điểm nhấn trong bản giao hưởng ấy chính là tổng n số hạng đầu tiên, hé mở bức tranh toàn cảnh về sự tiến triển của dãy số theo thời gian.
Hiểu được tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là một bước quan trọng trong việc nắm bắt bản chất và ứng dụng của nó. Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên này giúp ta xác định giá trị của một dãy số đang cho, dự đoán xu hướng phát triển của dãy số và đưa ra các quyết định sáng suốt trong nhiều tình huống thực tế.
Bài viết này Examon sẽ đi sâu vào phân tích công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, cùng với các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế. Qua đó, hy vọng khơi gợi niềm đam mê toán học cho người đọc và giúp họ khám phá vẻ đẹp tiềm ẩn trong chủ đề đầy lôi cuốn này.
1. Lý thuyết
- Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).
Khi đó tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy được tính bằng công thức: \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).
Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n u_{1}\).
2. Luyện tập
2.1. Bài 1
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_{n}=5^{n}-1\) với \(n=1,2, \ldots\). Tìm số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) của cấp số nhân đó?
Lời giải
Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=S_{1}=5-1=4 \\ u_{1}+u_{2}=S_{2}=5^{2}-1=24\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}=4 \\ u_{2}=24-u_{1}=20\end{array} \Rightarrow u_{1}=4, q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=5\right.\right.\).
2.2. Bài 2
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_{n}=6^{n}-1\). Tìm số hạng thứ năm của cấp số nhân đã cho.
Lời giải
Cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\).
Do \(S_{n}=6^{n}-1\) nên \(q \neq 1\). Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=6^{n}-1\).
Ta có: \(S_{1}=\frac{u_{1}(1-q)}{1-q}=6-1 \Leftrightarrow u_{1}=5\).
\[S_{2}=\frac{u_{1}\left(1-q^{2}\right)}{1-q}=6^{2}-1 \Leftrightarrow q=6 \text {. }\]Vậy \(u_{5}=u_{1} \cdot q^{4}=5 \cdot 6^{4}=6480\).
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!