Tổng hợp kiến thức và các dạng bài tập Nguyên hàm

Ký hiệu \(K\) là khoản, đoạn hoặc nửa khoản của \(R\).

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\).

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(K\) nếu \(F'(x)\) = \(f(x)\) với mọi \(x ∈ K\).

1) Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x)\) = \(F(x)+C\)cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\).

2) Ngược lại, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + CV\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số\(f(x)\) là \(∫f(x)dx\)

Khi đó: \(∫f(x)dx =F(x) + C, C ∈ R.\) 

Tính chất 1: \((∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + CT\)

Tính chất 2: \(∫kf(x)dx = k∫f(x)dx\) với \(K\) là hằng số khác 0.

Tính chất 3: \(∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx\)

- Phương pháp đổi biến số:

Định lí 1: Nếu \(∫f(u)du = F(u) + C\) và \(u = u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(∫f(u(x))u'(x)dx = f(u(x)) + C\)

Hệ quả: Nếu \(u = ax + b (a ≠ 0)\) thì ta có \(∫f(ax + b)dx = (1/a)f(ax + b) + C\)

- Phương pháp nguyên hàm từng phần:

Định lí 2: Nếu hai hàm số \(u = u(x)\) và \(y = y(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì \(∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx\)

Hay \(∫udv = uv - ∫vdu\)

\(\begin{array}{l}\int \mathrm{d}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})=\frac{1}{\mathrm{a}}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{C} \\ \int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)}{\alpha+1}^{\alpha+1}+c, \alpha \neq-1 \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+c+c \\ \int e^{a x+b} \mathrm{dx}=\frac{1}{a} e^{a x+b}+c \\ \int a^{p x+q} d x=\frac{1}{p \ln a} a^{p x+q}+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^{2}+a^{2}}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{x}\right|+c \\ \int \ln (a x+b) \mathrm{d} x=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c \\ \int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{dx}=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c \\ \int e^{a x} \sin b x \mathrm{dx}=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+c \\\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int \mathrm{e}^{\mathrm{kx}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{kx}}}{\mathrm{k}}+\mathrm{C} \\ \int \cos (a x+b) \mathrm{dx}=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+c \\ \int \sin (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{-1}{a} \cos (a x+b)+c \\ \int \operatorname{tg}(a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+c \\ \int \operatorname{cotg}(a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sin ^{2}(a x+b)}=\frac{-1}{a} \operatorname{cotg}(a x+b)+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\cos ^{2}(a x+b)}=\frac{1}{a} \operatorname{tg}(a x+b)+c \\ \int \arcsin \frac{x}{a} \mathrm{dx}=x \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^{2}-x^{2}}+c \\ \int \arccos \frac{x}{a} \mathrm{dx}=x \arccos \frac{x}{a}-\sqrt{a^{2}-x^{2}}+c \\ \int \operatorname{arctg} \frac{x}{a} \mathrm{dx}=x \operatorname{arctg} \frac{x}{a}-\frac{a}{2} \ln \left(a^{2}+x^{2}\right)+c \\ \int \operatorname{arccotg} \frac{x}{a} \mathrm{dx}=x \operatorname{arccotg} \frac{x}{a}+\frac{a}{2} \ln \left(a^{2}+x^{2}\right)+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+c \\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+c \\ \int e^{a x} \cos b x \mathrm{~d} x=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+c \\\end{array}\)

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa \(x\).

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa \(x\) về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

 + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh hoạ:

a) \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}=x^{\frac{-1}{3}}\right) d x\)

b) \(\int(x(3 \sqrt{x}-2)) d x\)

Lời giải chi tiết:

Đổi biến số là một trong những phương pháp được dùng để giải các bài tập Nguyên hàm. Khi sử dụng phương pháp này việc xử lý bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn.

Dưới đây là một số công thức nguyên hàm được sử dụng khi đổi biến số:

\(\begin{array}{l}\int d x=x+C \\ \int x^{A} d x=\frac{x^{n+1}}{\alpha+1}+C \\ \int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C \\ \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \\ \int e^{x} d x=e^{x}+C \\ \int \cos x d x=\sin x+C \\ \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=\sqrt{x}+C \\ \int e^{a t-b} d x=\frac{1}{a} e^{a+b}+C \\ \int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C \\ \int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C \\\end{array}\)

\(\int 0 d x=C\)

\(\begin{array}{l}\int 0 d x=C \\ \int(a x+b)^{n} d x=\frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C \\ \int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C \\ \int \frac{1}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} d x=\frac{1}{\mathrm{a}} \ln |\mathrm{ax}+\mathrm{b}|+C \\ \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a\gt 0, a \neq 1) \\ \int \sin x d x=-\cos x+C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\int \frac{d x}{\sqrt{a x+b}}=\frac{2}{a} \sqrt{a x+b}+C \\ \int \frac{1}{(a x+b)^{2}} d x=-\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a x+b}+C \\ \int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C \\ \int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\end{array}\)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số \(f(x)=(3 x+2)^{3}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Đặt t = 3x + 2; khi đó ta có:

Ví dụ 2: Tính tích phân sau

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t=1-x=\gt -d t=d x\). 

Đổi cận: \(x=0=>=1 ; x=1 \Rightarrow t=0\)

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức: \(∫udv = uv - ∫vdu\)

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với \(P(x)\) là một đa thức theo ẩn (\(x\))

Gặp \(\int f(x) \cdot \ln ^{n}(a x+b) d x\)

ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln ^{n}(a x+b) \\ d v=f(x) d x\end{array}\right.\)

Gặp \(\int e^{a x+b}\left[\begin{array}{l}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right] d x\),

ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\left[\begin{array}{l}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right]\end{array}\right] x\)

Ví dụ minh hoạ: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(\int(4 x-1) \ln (x+1) \mathrm{dx}\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\int(4 x-1) \ln (x+1) \mathrm{dx}\) Đặt \(u=\ln (x+1)\) và \(d v=(4 x-1) d x\) 

Khi đó \(\int(4 x-1) \ln (x+1) \mathrm{dx}=\left(2 x^{2-} \mathrm{x}-\right.\)3) \(\ln (x+1)-x^{2}+3 x+C\)

Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:

- Sử dụng bảng nguyên hàm.

- Đổi biến số

- Nguyên hàm từng phần

Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số C tương ứng.

Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.

Ví dụ: 

Bài 1: \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{x+1}{x-1}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\int \frac{x+1}{x-1} d x=\int\left(1+\frac{2}{x-1}\right) d x=\mathrm{x}+\) \(2 \ln |x-1|+C\)

Bài 2: Tính nguyên hàm \(F(x)\) của hàmsố: \(\int\left(\frac{3 x+3}{-x^{2}-x+2}\right) d x\)

Đáp án: \(-2 \ln |x-1|-\ln |x+2|+C\)

Bài 3: Tính nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số: \(\mathbf{|}=\int\left(\frac{2 x^{2}+x+1}{x-1}\right) d x\)

 Đáp án:\(I=x^{2}+3 x+4 \ln |x-1|+C\)