Tổng hợp công thức cấp số nhân và cấp số cộng

1.Cấp số nhân và cấp số cộng là gì?

1.1 Cấp số cộng

Cấp số cộng được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn số đứng sau bằng tổng của số đứng trước với một số không đổi. Số không đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn.

Ví dụ như: \(3,5,7,9,11,13,15,17,...\),

Tư đó chúng ta có định nghĩa:

Un là cấp số cộng nếu: \(u_{n}+1=u_{n}+d\)

Trong đó có d là công sai \(=u_{n}+1-u_{n}\)

Số hạng tổng quát

Chúng ta tính được số hạng tổng quát bằng cách thông qua số hạng đầu và công sai có công thức như sau:

\[u_{n}=u_{1}+(n-1) d\]

Tính chất cấp số cộng

\[u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}\]

Tổng \(n\) số hạng đầu

\[\begin{aligned}S_{n} & =\frac{n\left(u_{1}+u_{n}\right)}{2} ; n \in \mathbb{N}^{*} \\S_{n} & =n u_{1}+\frac{n(n-1)}{2} d \\S_{n} & =\frac{n\left[2 u_{1}+(n-1) d\right]}{2}\end{aligned}\]

1.2 Cấp số nhân

Trong chương trình toán THPT, cấp số nhân là một dãy số thỏa mãn điều kiện số thứ 2 của dãy số đó là tích của số đứng trước với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. Từ đó ta có định nghĩa về cấp số nhân như sau:

Un là cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n thuộc N
q là công bội và q được tính: \(q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)
Số hạng tổng quát

Để có thể tính số hạng tổng quát của cấp số nhân, chúng ta áp dụng công thức sau:

\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\)

Tính chất của cấp số nhân

\[u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1} \text { hay }\left|u_{k}\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}, k \geq 2\]

Tổng \(n\) số hạng đầu

\[S_{n}=\frac{u_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q},(q \neq 1) .\]

2. Tổng hợp công thức cấp số cộng và cấp số nhân

2.1 Công thức cấp số cộng

- Công thức cấp số cộng tổng quát:

\[u_{n}=u_{m}+(n-m) d\]

Từ công thức tổng quát trên ta suy ra số hạng thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của 2 số hạng liền kề nó.

\[u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2\]

- Chúng ta có 2 công thức để tính tổng n số hạng đầu đối với cấp số cộng. Ta có:

\[S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}=\frac{n\left(u_{1}+u_{n}\right)}{2}\]

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai bằng 2 .

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức ta có:

\[S_{20}=\frac{20 .(2.3+19.2)}{2}=440\]

2.2 Công thức cấp số nhân

Ta xét các cấp số nhân mà số hạng đầu và công bội khác 0 . Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0 .

Ta có công thức cấp số nhân:

\[u_{n}=u_{m} \cdot q^{n-m}\]

Ví dụ: Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 32 và công bội bằng 2 . Tính số hạng thứ 5 của cấp số nhân

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức ta có:

\[u_{5}=u_{8} \cdot q^{5-8}=32.2^{-3}=4 .\]

Từ công thức trên ta suy ra được các công thức:

\[\begin{array}{l}\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_{1} \cdot \mathrm{q}^{\mathrm{n}-1}, \forall \mathrm{n} \geq 2 \\u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}, \forall \mathrm{k} \geq 2\end{array}\]

- Tổng \(n\) số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

\[S_{n}=\sum k=1^{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}\]

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức ta có:

\[S_{11}=2 \cdot \frac{1-2^{11}}{1-2}=4094 .\]

3. Một số bài tập về cấp số cộng và cấp số nhân có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Lời giải chi tiết

Giả sử công sai là \(\mathrm{d}=2 \mathrm{x}, 4\) số hạng đó lần lượt là: \(a-3 \mathrm{x}, a-x, a+x, a+3 x\).

Lúc này ta có:

\[S_{11}=2 \cdot \frac{1-2^{11}}{1-2}=4094 .\]

Kết luận bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là \(2,4,6,8\)

Bài 2: Cho cấp số cộng:

\[\left(\mathrm{U}_{\mathrm{n}}\right):\left\{\begin{array}{c}u_{5}+3 u_{3}-u_{2}=-21 \\3 u_{7}-2 u_{4}=-34\end{array}\right.\]

Hãy tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng?

Lời giải chi tiết

Từ giải thiết, chúng ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}3\left(u_{1}+6 d\right)-2\left(u_{1}+3 d\right)=-34 \\u_{1}+4 d+3\left(u_{1}+2 d\right)-\left(u_{1}+d\right)=-21\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } + 3 d = - 7 } \\{ u _ { 1 } + 1 2 d = - 3 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\d=-3\end{array}\right.\right. \\\Rightarrow u_{100}=u_{1}+99 d=-295\end{array}\]

Bài 3: Cho cấp số cộng

\[u_{n}:\left\{\begin{array}{c}u_{2}-u_{3}+u_{5}=10 \\u_{4}+u_{6}=26\end{array}\right.\]

Hãy tính công sai, công thức tổng quát cấp số cộng đã cho.

Lời giải chi tiết

Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}\left(u_{1}+d\right)-\left(u_{1}+2 d\right)+\left(u_{1}+4 d\right)=10 \\u_{1}+3 d+\left(u_{1}+5 d\right)=26\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + 3 d = 1 0 } \\{ u _ { 1 } + 4 d = 1 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\d=3\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Công sai của cấp số cộng trên \(\mathrm{d}=3\),

Số hạng tổng quát là \(u_{n}=u_{1}+(n-1) d\) \(=3 n-2\)

Bài 4: Cho cấp số cộng

\[\left(u_{n}\right):\left\{\begin{array}{c}u_{2}-u_{3}+u_{5}=10 \\u_{4}+u_{6}=26\end{array}\right.\]

Hãy tính \(S=U_{1}+U_{4}+U_{7}+\ldots+U_{2011}\) ?

Lời giải chi tiết

Ta có các số hạng \(\mathrm{U}_{1}, \mathrm{U}_{4}, \mathrm{U}_{7}, \ldots, \mathrm{U}_{2011}\) lập được thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai \(\mathrm{d}^{\prime}=3 \mathrm{~d}\).

Do đó ta có:

\[S=\frac{670}{2}\left(2 u_{1}+669 d^{\prime}\right)=673015\]

Bài 5: Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

\[\left\{\begin{array}{c}u_{1}-u_{3}+u_{5}=10 \\u_{4}+u_{6}=26\end{array}\right.\]

Lời giải chi tiết

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } - u _ { 3 } + u _ { 5 } = 1 0 } \\{ u _ { 4 } + u _ { 6 } = 2 6 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1}-\left(u_{1}+2 d\right)+u_{1}+4 d=10 \\u_{1}+3 d+u_{1}+5 d=26\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + 2 d = 1 0 } \\{ u _ { 1 } + 6 d = 2 6 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1}=1 \\d=3\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Vậy ta có công sai của cấp số là \(\mathrm{d}=3\)

Công thức tổng quát: \(u_{n}=u_{1}+(n-1) d=1+3(n-1)=3 n-2\)

4. Học tập mỗi ngày cùng Examon

Bài viết này Examon đã tổng hợp các công thức cấp số nhân và cấp số cộng đầy đủ ngắn gọn từ A đến Z cho các bạn học sinh dễ dàng tiếp cận. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể nẵm vững các kiến thức và áp dụng vào các bài kiểm tra đạt kết quả tốt. Cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh