Tổng hợp các dạng nguyên hàm lượng giác

Lê Hiếu Thảo

Nguyên hàm lượng giác là chủ đề thường gặp và vô cùng thông dụng trong toán học giải tích. Cùng exmon tìm hiểu ngay nhé!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Dạng 1
    • 1. Phương pháp
    • 2. Minh họa
  • 2. Dạng 2
    • 2.1. Phương pháp
    • 2.2. Minh họa
  • 3. Dạng 3
    • 3.1. Phương pháp
    • 3.2. Minh họa
  • 4. Dạng 4
    • 4.1. Phương pháp
    • 4.2. Minh họa
  • 5. Dạng 5
    • 5.1. Phương pháp
    • 5.2. Minh họa
  • Giải pháp giúp học hiệu quả từ Examon

Nguyên hàm lượng giác là phần kiến thức quan trọng trong, luôn góp mặt trong bất kì kì thi nào ở chương trình phổ thông. Thêm nữa dạng nguyên hàm lượng giác khá rộng và phức tạp, đòi hỏi phải nắm vững kiến thức và giải các bài tập liên quan. Để học tốt dạng này, các bạn học sinh nên dành thời gian để luyện tập các bài tập cả trên lớp lẫn ở nhà. thực hành nhiều để nhuần nhuyễn các công thức nguyên hàm cơ bản cũng như nguyên hàm lượng giác

banner

1. Dạng 1

1. Phương pháp

\(I=\int \frac{d x}{\sin (x+a) \sin (x+b)}\)

Phương pháp tính

Dùng đồng nhất thức 

\(1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)}=\frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (a-b)}\)

\(\frac{\sin (x+a) \cos (x+b)-\cos (x+a) \sin (x+b)}{\sin (a-b)}\)

từ đó suy ra

\(I=\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (x+a) \cos (x+b)-\cos (x+a) \sin (x+b)}{\sin (x+a) \sin (x+b)} d x\)

\(=\frac{1}{\sin (a-b)} \int\left[\frac{\cos (x+b)}{\sin (x+b)}-\frac{\cos (x+a)}{\sin (x+a)}\right] d x\)

\(=\frac{1}{\sin (a-b)}[\ln |\sin (x+b)|-\ln |\sin (x+a)|]+C\)

 

chú ý

Với cách này, ta có thể tìm được các nguyên hàm:

\(J=\int \frac{d x}{\cos (x+a) \cos (x+b)}\) bằng cách dùng đồng nhất thức \(1=\frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)}\)

\(K=\int \frac{d x}{\sin (x+a) \cos (x+b)}\) bằng cách dùng đồng nhất thức \(1=\frac{\cos (a-b)}{\cos (a-b)}\)

2. Minh họa

  1. Tìm nguyên hàm sau: \(I=\int \frac{d x}{\sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

ta có 

\(1=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}}=\frac{\sin \left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos x-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin x\right]\)

từ đó 

\(I=2 \int \frac{\left[\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos x-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin x\right]}{\sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x=2 \int\left[\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\right] d x\)

\(=2 \int \frac{d(\sin x)}{\sin x}-2 \int \frac{d\left(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=2 \ln \left|\frac{\sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\right|+C\)

 

2. Tìm nguyên hàm sau \(I=\int \frac{d x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)}\)

ta có

 \(1=\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\cos \frac{\pi}{4}}=\frac{\cos \left[\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

\(=\sqrt{2}\left[\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]\)

từ đó

\(I=\sqrt{2} \int \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)} d x\)

\(=\sqrt{2} \int \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)} d x+\sqrt{2} \int \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{12}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{12}\right)} d x\)

 

2. Dạng 2

2.1. Phương pháp

\(I=\int \tan (x+a) \tan (x+b) d x\)

Phương pháp tính

ta có

\(\tan (x+a) \tan (x+b)=\frac{\sin (x+a) \sin (x+b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}\)

\(=\frac{\sin (x+a) \sin (x+b)+\cos (x+a) \cos (x+b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-1\)

\(\frac{\cos (a-b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-\)1

từ đó

\(I=\cos (a-b) \int \frac{d x}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-1\)

đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở dạng 1

 

chú ý

với cách này ta có thể tính được các nguyên hàm

\(\begin{array}{l}\text { - } J=\int \cot (x+a) \cot (x+b) d x \\ \text { - } K=\int \tan (x+a) \tan (x+b) d x\end{array}\)

2.2. Minh họa

1. Tìm nguyên hàm \(I=\int \cot \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x\)

ta có 

\(\cot \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

\(=\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}-1\)

\(=\frac{\cos \left[\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}-\)1

\(\cot \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

từ đó

\(I=\frac{\sqrt{3}}{2} \int \frac{1}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x-\int d x=\frac{\sqrt{3}}{2} I_{1}-x+C\)

Tính

\(I_{1}=\int \frac{d x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

Ta có:

 \(1=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}}=\frac{\sin \left[\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{\frac{1}{2}}\)\(=2\left[\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]\)

Từ đó:

 \(I_{1}=2 \int \frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x\)

\[=2 \int \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x-2 \int \frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)} d x=2 \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\]

Suy ra: 

\(I=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|-x+C=\sqrt{3} \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|-x+C\)

 

2. Tìm nguyên hàm \(K=\int \tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x\)

ta có 

\(\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\)

\(=\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\)

\(=\frac{\sin \left[\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\)

từ đó

\(K=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x+\int d x=\frac{1}{2} K_{1}+x+C\)

đến đây, bằng cách tính ở dạng 1, ta tính được

\(\begin{array}{l}K_{1}=\int \frac{d x}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{2}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C \\ \text { Suy ra: } K=\frac{\sqrt{3}}{3} \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C\end{array}\)

3. Dạng 3

3.1. Phương pháp

\(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}\)

Phương pháp tính

có: \(a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos x\right)\)

=> \(a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (x+\alpha)\)

=> \(I=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \int \frac{d x}{\sin (x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \ln \left|\tan \frac{x+\alpha}{2}\right|\)+ C

 

3.2. Minh họa

1. Tìm nguyên hàm sau đây \(I=\int \frac{2 d x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x}\)

\(I=\int \frac{2 d x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x}=\int \frac{d x}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x}=\int \frac{d x}{\sin x \cos \frac{\pi}{6}+\cos x \sin \frac{\pi}{6}}\)

\(=\int \frac{d x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\ln \left|\tan \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}\right|+C=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|+C\)

 

2. Tìm nguyên hàm sau: \(J=\int \frac{d x}{\cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x}\)

giải:

\(J=\int \frac{d x}{\cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x}\)

\(=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sin \frac{\pi}{6} \cos 2 x-\cos \frac{\pi}{6} \sin 2 x}=\frac{1}{2} \int \frac{d x}{\sin \left(\frac{\pi}{6}-2 x\right)}=-\frac{1}{4} \int \frac{d\left(\frac{\pi}{6}-2 x\right)}{\sin \left(\frac{\pi}{6}-2 x\right)}\)

\(=-\frac{1}{4} \ln \left|\tan \frac{\frac{\pi}{6}-2 x}{2}\right|+C=-\frac{1}{4} \ln \left|\tan \left(\frac{\pi}{12}-x\right)\right|+C\)

 

4. Dạng 4

4.1. Phương pháp

\(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\)

đặt tan x/2 = t 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} \\ \tan x=\frac{2 t}{1-t^{2}}\end{array}\right.\)

 

4.2. Minh họa

1. Tìm nguyên hàm sau: \(=\int \frac{d x}{3 \cos x+5 \sin x+3}\)

đặt tan x/2 = t 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.\)

từ đó: 

\(I=\int \frac{\frac{2 d t}{1+t^{2}}}{3 \cdot \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+5 \frac{2 t}{1+t^{2}}+3}=\int \frac{2 d t}{3-3 t^{2}+10 t+3+3 t^{2}}=\int \frac{2 d t}{10 t+6}\)

\(=\frac{1}{5} \int \frac{d(5 t+3)}{5 t+3}=\frac{1}{5} \ln |5 t+3|+C=\frac{1}{5} \ln \left|5 \tan \frac{x}{2}+3\right|+C\)

 

2. tìm nguyên hàm của \(J=\int \frac{2 d x}{2 \sin x-\cos x+1}\)

đặt tan x/2 = t

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.\)

từ đó:

\(J=\int \frac{2 \cdot \frac{2 d t}{1+t^{2}}}{2 \cdot \frac{2 t}{1+t^{2}}-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+1}=\int \frac{4 d t}{4 t-1+t^{2}+1+t^{2}}\)

\(\int \frac{4 d t}{2 t^{2}+4 t}=2 \int \frac{d t}{t(t+2)}\)

\(=\int\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+2}\right) d t=\ln |t|-\ln |t+2|+C=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|-\ln \left|\tan \frac{x}{2}+2\right|+C\)

 

2. Tìm nguyên hàm sau đây \(K=\int \frac{d x}{\sin x+\tan x}\)

đặt tanx/2 = t 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ \tan x=\frac{2 t}{1-t^{2}}\end{array}\right.\)

từ đó

\(K=\int \frac{\frac{2 d t}{1+t^{2}}}{\frac{2 t}{1+t^{2}}+\frac{2 t}{1-t^{2}}}=\frac{1}{2} \int \frac{1-t^{2}}{t} d t=\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t}-\frac{1}{2} \int t d t\)

\(=\frac{1}{2} \ln |t|-\frac{1}{4} t^{2}+C=\frac{1}{2} \ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4} \tan ^{2} \frac{x}{2}+C\)

 

5. Dạng 5

5.1. Phương pháp

\(I=\int \frac{d x}{a \cdot \sin ^{2} x+b \cdot \sin x \cos x+c \cdot \cos ^{2} x}\)

đặt tan x=t

=> \(\frac{d x}{\cos ^{2} x}=d t\)

suy ra \(I=\int \frac{d t}{a t^{2}+b t+c}\)

 

5.2. Minh họa

\(I=\int \frac{d x}{3 \sin ^{2} x-2 \sin x \cos x-\cos ^{2} x}=\int \frac{d x}{\left(3 \tan ^{2} x-2 \tan x-1\right) \cos ^{2} x}\)

đặt tan x = t => \(\frac{d x}{\cos ^{2} x}=d t\)

=> \(I=\int \frac{d t}{3 t^{2}-2 t-1}=\int \frac{d t}{(t-1)(3 t+1)}\)

\(\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{3}{3 t+1}\right) d t=\frac{1}{4} \int \frac{d t}{t-1}-\frac{1}{4} \int \frac{d(3 t+1)}{3 t+1}\)

\(\frac{1}{4} \ln \left|\frac{t-1}{3 t+1}\right|+C=\frac{1}{4} \ln \left|\frac{\tan x-1}{3 \tan x+1}\right|+C\)

 

Giải pháp giúp học hiệu quả từ Examon

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hóa cải thiện điểm số học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

 

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.

 

NHỮNG LỢI ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LẠI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ AI phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống AI bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng