Tổng hợp các dạng bài Nguyên hàm thường gặp trong thi THPTQG

\(\begin{array}{ll}\int x^{\alpha} d x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \quad \alpha \neq-1 ; & \int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \\ \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1) ; & \int e^{x} d x=e^{x}+C \\ \int \sin x d x=-\cos x+C ; & \int \cos x d x=\sin x+C \\ \int \frac{d x}{\cos ^{2} x}=\tan x+C & \int \frac{d x}{\sin ^{2} x}=-\cot x+C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C ; & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\arctan x+C \\ \int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{a}+C, a\gt 0 ; & \int \frac{d x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C, a>0 \\ \int \frac{u^{\prime}}{u} d x=\ln |u|+C & \int e^{a x} d x=\frac{1}{a} e^{a x}+c, a \neq 0 \\ \int \sin a x d x=-\frac{1}{a} \cos a x+c, a \neq 0 & \int \cos a x d x=\frac{1}{a} \sin a x+c, a \neq 0\end{array}\)

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa \(x\).

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa \(x\) về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

+ Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ:

a, \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}=x^{\frac{-1}{3}}\right) d x\)

b, \(\int(x(3 \sqrt{x}-2)) d x\)

Lời giải:

a, \(\int\left(4 x^{5}+2 x^{-3}-x^{\frac{1}{3}}\right) d x\)

\(\begin{array}{l}=4 \frac{x^{6}}{6}+2 \frac{x^{-2}}{-2}-\frac{x^{1+\frac{1}{3}}}{1+\frac{1}{3}}+C \\ =\frac{2}{3} x^{6}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{4} x \sqrt[3]{x}+C\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\text { b) } \int x(3 \sqrt{x}-2) d x \\ =\int(3 x \sqrt{x}-2 x) d x=\int\left(3 x^{\frac{3}{2}}-2 x\right) d x \\ =3 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-2 \frac{x^{2}}{2}+C=\frac{6}{5} x^{2} \sqrt{x}-x^{2}+C\end{array}\)

Khi giải tích phân \(\int f(x) d x\) ta gặp hàm \(f(x)\) khá phức tạp, khó lấy nguyên hàm, nên ta sẽ tìm cách đổi qua biên mới, để được tích phân của hàm theo biến mới đơn giản hơn. 

Phép đổi biến trong tích phân bất định được thực hiện nhờ hai dạng thay thế sau đây:

\(\checkmark\) Đặt \(t=\varphi(x)\), trong đó \(t\) là biến mới. Với phép thế này, công thức sẽ là:

\(\checkmark\) Đặt \(x=\varphi(t)\), trong đó \(\varphi(t)\) là hàm đơn điệu, khả vi theo biến mới \(t\). Khi đó công thức đổi biến sẽ là:

Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phức t

Ví dụ:   \(\int \frac{e^{\tan x}}{\cos ^{2} x} d x\)

Đăt \(\mathrm{t}=x^{2}\), suy ra \(\mathrm{dt}=2 \mathrm{xdx}\)

\(=\gt \frac{1}{2} \mathrm{dt}=\mathrm{xdx}\)

Khi đó \(\int x e^{x^{2}} d x=\frac{1}{2} \int e^{t} d t\)

= \(\frac{1}{2} e^{t}+C=\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C\)

:Giả sử \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trong một khoảng nào đó. Trong khoảng đó ta có:

Công dụng của công thức (*) ở chỗ là trong thực hành thay vì lấy tích phân \(\int u d v\) đang ở dạng phúc tạp, ta lây tích phân \(\int v d u\) nhiêu khi có dạng đơn giản hơn.

Chú ý:

i. Để tính \(\int f(x) d x\) bằng phương pháp tích phân từng phần ta cần phân tích \(f(x)=g(x) \cdot h(x)\), sau đó đặt:

ii. Nếu đặt không khéo sẽ dẫn đến \(\int v d u\) phức tạp hơn.

iii. Vậy ta cần đặt nhu thế nào?

Chú ý.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot \ln x d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=P(x) d x\end{array}\right.\) với \(P(x)\) là đa thức.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G d x\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=L G d x\end{array}\right.\) với \(L G=\) lượng giác.

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot L G N d x \quad\) ta đặt \(\left\{\begin{array}{ll}u=L G N & \text { vói } L G N=\text { lượng } \\ d v=P(x) d x & \text { giác ngược. }\end{array}\right.\)

\(\checkmark\) Gặp dạng \(\int P(x) \cdot a^{x} d x, \quad\) ta đặt \(\quad\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=a^{x} d x\end{array}\right.\)

Vi du: 

 \(I=\int x e^{2 x} d x\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{2 x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.\).

Ta có:

   \(\begin{aligned}I & =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x \\& =\frac{x}{2} e^{2 x}-\frac{1}{4} e^{2 x}+C .\end{aligned}\)

Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:

- Sử dụng bảng nguyên hàm.

- Đổi biến số

- Nguyên hàm từng phần 

Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số \(\mathrm{c}\) tương ứng.

Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.

Ví dụ: Tìm một nguyên hàm \(\mathrm{F}(\mathrm{x})\) của hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=(4 \mathrm{x}+1) e^{x}\) thỏa mãn điều kiện \(\mathrm{F}(1)=\mathrm{e}\).

Đặt \(u=4 x+1\) và \(d v=e x d x\) => \(d u=4 d x\) và \(v=e^{x}\)

\(\Rightarrow \int \left( 4 x + 1 \right ) e^{x} dx = \left( x + 1 \right ) e^{x} - \int 4 e x dx\)

\(=(4 \mathrm{x}+1) e^{x}-4 e^{x}+\mathrm{C}=(4 \mathrm{x}-3) e^{x}+\mathrm{C}\)

Mà \(\mathrm{F}(1)=\mathrm{e} \Rightarrow \mathrm{C}=0\) nên \(\mathrm{F}(\mathrm{x})=(4 \mathrm{x}-3) e^{x}\)