Tổng ôn lí thuyết về Nguyên hàm

Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức đổi biến số

1) \(\int \mathrm{d} x=x+C\)

2) \(\int x^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

3) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{x}=\ln |x|+C \quad(x \neq 0)\)

4) \(\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C\)

5) \(\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C\)

6) \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\tan x+C\)Với \(x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\)

\(\begin{array}{l}\text { 7) } \int \frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\cot x+C \text {. } \\ \ x \neq k \pi\end{array}\)

8) \(\int e^{x} \mathrm{~d} x=e^{x}+C\)

9) \(\int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1)\)

1) \(\int \mathrm{d} u=u+C\).

2) \(\int u^{\alpha} \mathrm{d} u=\frac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

3) \(\int \frac{\mathrm{d} u}{u}=\ln |u|+C \quad(u(x) \neq 0)\)

4) \(\int \cos u \mathrm{~d} u=\sin u+C\)

5) \(\int \sin u \mathrm{~d} u=-\cos u+C\)

6) \(\int \frac{1}{\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=\tan u+C\)

Với \(u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\)

\(\begin{array}{l}\text { 7) } \int \frac{1}{\sin ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\cot u+C \\ \text { Với } u(x) \neq k \pi\end{array}\)

8) \(\int e^{u} \mathrm{~d} u=e^{u}+C\)

9) \(\int a^{u} \mathrm{~d} u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1)\)

1) Vi phân \(\mathrm{d}(a x+b)=\frac{1}{a} \mathrm{~d} x\)

2) \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\alpha+1}(a x+b)^{\alpha+1}+C\)

3) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C(a \neq 0)\)

4) \(\int \cos (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)

5) \(\int \sin (a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

6) \(\int \frac{d x}{\cos ^{2}(a x+b)}=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

7) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2}(a x+b)}=\frac{-1}{a} \cot (a x+b)+C\)

8) \(\int e^{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+C\)

9) \(\int a^{p x+q} \mathrm{~d} x=\frac{1}{p \cdot \ln a} a^{p x+q}+C(0\lt a \neq 1)\)

Cho 2 hàm số u và v liên tục trên đoạn và \([a ; b]\) và có đạo hàm liên tục trên \([a ; b]\).

Khi đó: \(\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u .(*)\)

Để tính nguyên hàm \(\int f(x) \mathrm{d} x\) bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u,v sao cho f(x)dx=udv (chú ý dv=v'(x)dx).

Sau đó tính  \(v=\int \mathrm{d} v\) và \(\mathrm{d} u=u^{\prime} . \mathrm{d} x\).

Bước 2: thay vào công thức * và tính \(\int v \mathrm{~d} u\).

Chú ý: cần phải lựa chọn dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân  \(\int v \mathrm{~d} u\) dễ tính hơn \(\int u \mathrm{~d} v\). 

- Dạng 1.

 \(I=\int P(x) \sin (a x+b) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.

Với dạng này ta đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=\sin (a x+b) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x \\ v=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)\end{array}\right.\right.\).

- Dạng 2.

 \(I=\int P(x) \cos (a x+b) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.

Với dạng này ta đặt:

\(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=\cos (a x+b) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{a} \sin (a x+b)\end{array}\right.\right.\).

- Dạng 3. \(I=\int P(x) e^{a x+b} \mathrm{~d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.

Với dạng này ta đặt:

 \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=e^{a x+b} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{a} e^{a x+b}\end{array}\right.\right.\).

- Dạng 4. \(I=\int P(x) \ln g(x) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.

Với dạng này ta đặt

 \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln g(x) \\ \mathrm{d} v=P(x) \mathrm{d} x\end{array}\right.\).

- Dạng 5. \(I=\int\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] e^{x} \mathrm{~d} x\).

Với dạng này ta đặt:

 \(\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] . \\ \mathrm{d} v=e^{x} \mathrm{~d} x\end{array}\right.\)

Câu 1. Tìm nguyên hàm của \(\int x \sin 2 x d x\)

Câu 2. Tìm nguyên hàm hàm số  \(f(x)=x \sin x\)

Câu 3. Biết \(\int x \cos 2 x \mathrm{~d} x=a x \sin 2 x+b \cos 2 x+C\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính tích ab

Câu 4. Tìm nguyên hàm  \(I=\int(x-1) \sin 2 x \mathrm{~d} x\)

Câu 5. Tìm nguyên hàm \(\int \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x\)

Câu 6. Họ nguyên hàm của \(\int e^{x}(1+x) d x\) 

Câu 7. Biết \(\int x e^{2 x} \mathrm{~d} x=a x e^{2 x}+b e^{2 x}+C(a, b \in \mathbb{Q})\). 

Tính tích ab

Câu 8. Biết \(F(x)=(a x+b) e^{x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y=(2 x+3) e^{x}\). Khi đó a+b+?