Tính tích phân hàm số liên tục

Về mặt thực hành, ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1. Tách: 

\(I=\int_{a}^{a+T} f(x) d x=\underbrace{\int_{a}^{0} f(x) d x}_{A}\)

\(+\underbrace{\int_{0}^{T} f(x) d x}_{B}+\underbrace{\int_{T}^{a+T} f(x) d x}_{C}(i)\)

Bước 2. Tính \(C=\int_{T}^{a+T} f(x) d x\)?

Đặt \(x=t+T \Rightarrow d x=d t\). 

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=a+T \\ x=T\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}t=a \\ t=0\end{array}\right.\right.\). 

Khi đó:

\(C=\int_{0}^{a} f(t+T) d t=-\int_{a}^{0} f(t) d t\)

\(=-\int_{a}^{0} f(x) d x=-A(i i)\)

Thế (i) vào (ii) ta được: 

\(I=B=\int_{0}^{T} f(x) d x\) 

Cho \(f(x), f(-x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2 f(x)+3 f(-x)=\frac{1}{x^{2}+4}\). Biết \(I=\int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{m}\). Khi đó giá trị của \(m\) là?

A. \(m=2\).

B. \(m=20\).

C. \(m=5\).

D. \(m=10\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f(x), f(-x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2 f(x)+3 f(-x)=\frac{1}{x^{2}+4}\) nên ta có:

\(\int_{-2}^{2}(2 f(x)+3 f(-x)) d x\) 

\(=\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}\)

Đặt \(K=\int_{-2}^{2}(2 f(x)+3 f(-x)) d x\)

\(=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x+3 \int_{-2}^{2} f(-x) d x\)

Đặt \(K=\int_{-2}^{2}(2 f(x)+3 f(-x)) d x\)

\(=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x+3 \int_{-2}^{2} f(-x) d x\)

\(-x=t \Rightarrow d x=-d t ; f(-x)=f(t),\)

\(x=-2 \Rightarrow t=2 ; x=2 \Rightarrow t=-2\)

Do đó \(\int_{-2}^{2} f(-x) d x=\int_{2}^{-2} f(t) \cdot(-d t)\)

\(=\int_{-2}^{2} f(t) d t=\int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(\Rightarrow K=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(+3 \int_{-2}^{2} f(-x) d x\)

\(=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x+3 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(=5 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

Đặt \(J=\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4} ;\)

\(x=2 \tan \alpha, \alpha \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\),

Ta có: \(d x=d(2 \tan \alpha)=\frac{2 d \alpha}{\cos ^{2} \alpha}\)

\(=2\left(1+\tan ^{2} \alpha\right) d \alpha\)

Với \(x=-2 \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{4}\); 

Với \(x=2 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}\).

Do đó \(J=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)}{4 \tan ^{2} \alpha+4} d \alpha=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d \alpha}{2}\)

\(=\left.\frac{1}{2} \alpha\right|_{-\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}(3)\) 

Từ (1), (2) và \((3)\), ta có 

\(K=J \Rightarrow 5 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(=\frac{\pi}{4} \Rightarrow \int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{20}\)

Mà theo giả thiết, 

\(I=\int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{m}\) 

nên \(\frac{\pi}{m}=\frac{\pi}{20} \Rightarrow m=20\).

Chú ý: Có thể tính nhanh \(\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}\) bằng công thức: 

\(\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)

Từ đó: \(\int \frac{d x}{x^{2}+4}=\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\)

\(\Rightarrow \int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}=\left.\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right|_{-2} ^{2}\)

\(=\frac{1}{2}(\arctan 1-\arctan (-1))\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\frac{\pi}{4}\)

Cho \(f(x), f(-x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2 f(x)+3 f(-x)=\frac{1}{x^{2}+4}\). Biết \(I=\int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{m}\). Khi đó giá trị của \(m\) là? 

A. \(m=2\).

B. \(m=20\).

C. \(m=5\).

D. \(m=10\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f(x), f(-x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(2 f(x)+3 f(-x)=\frac{1}{x^{2}+4}\) nên ta có:

\(\int_{-2}^{2}(2 f(x)+3 f(-x)) d x\)

\(=\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}\)

Đặt 

\(K=\int_{-2}^{2}(2 f(x)+3 f(-x)) d x\)

\(=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x+3 \int_{-2}^{2} f(-x) d x\)

Đặt 

\(-x=t \Rightarrow d x=-d t ; f(-x)=f(t), x=-2 \Rightarrow t=2 ; x=2 \Rightarrow t=-2\)

Do đó 

\(\int_{-2}^{2} f(-x) d x=\int_{2}^{-2} f(t) \cdot(-d t)\)

\(=\int_{-2}^{2} f(t) d t=\int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(\Rightarrow K=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(+3 \int_{-2}^{2} f(-x) d x=2 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(+3 \int_{-2}^{2} f(x) d x=5 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

Đặt 

\(-x=t \Rightarrow d x=-d t ; f(-x)=f(t), \)

\(x=-2 \Rightarrow t=2 ; x=2 \Rightarrow t=-2\)

\(J=\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4} ; \)

\(x=2 \tan \alpha, \alpha \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)

Ta có: 

\(d x=d(2 \tan \alpha)=\frac{2 d \alpha}{\cos ^{2} \alpha}\)

\(=2\left(1+\tan ^{2} \alpha\right) d \alpha\)

Với \(x=-2 \Rightarrow \alpha=-\frac{\pi}{4}\); 

Với \(x=2 \Rightarrow \alpha=\frac{\pi}{4}\).

Do đó 

\(J=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)}{4 \tan ^{2} \alpha+4} d \alpha=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{d \alpha}{2}\)

\(= \left.\frac{1}{2} \alpha\right|_{-\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}\)

(3)Từ (1), (2) và \((3)\), ta có:\(K=J \Rightarrow 5 \int_{-2}^{2} f(x) d x\)

\(=\frac{\pi}{4} \Rightarrow \int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{20}\)

Mà theo giả thiết, \(I=\int_{-2}^{2} f(x) d x=\frac{\pi}{m}\) 

nên \(\frac{\pi}{m}=\frac{\pi}{20} \Rightarrow m=20\).

Chú ý: Có thế tinh nhanh \(\int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}\) bằng công thúc: \(\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)

Từ dó: \(\int \frac{d x}{x^{2}+4}=\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C\)

\(\Rightarrow \int_{-2}^{2} \frac{d x}{x^{2}+4}=\left.\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right|_{-2} ^{2}\)

\(=\frac{1}{2}(\arctan 1-\arctan (-1))\) 

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]=\frac{\pi}{4}\)