Tính tích phân hàm lượng giác

Cho hàm số \(y=f[u(x)]\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử hàm số \(u=u(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a ; b]\); hàm số \(y=f(u)\) liên tục sao cho hàm hợp \(\mathrm{f}[\mathrm{u}(\mathrm{x})]\) xác định. Khi đó, ta có:

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử hàm số \(x=\varphi(t)\) có đạo hàm và liên tục trên đoạn \([a ; \beta]\) sao cho \(\varphi(a)=a ; \varphi(\beta)=b\) và \(a \leq \varphi(t) \leq b\) với mọi \(t \in[a ; \beta]\). 

Khi đó:

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:

1. \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}:\) Đặt \(x=|a| \sin t ; t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\)

2. \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}:\) Đặt \(x=\frac{|a|}{\sin t} ; t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right] \backslash\{0\}\)

3. \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}:\) Đặt \(x=|a| \tan t ; t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\)4. \(\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\) hoặc \(\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\) : Đặt \(\mathrm{x}=\mathrm{a} \cdot \cos 2 \mathrm{t}\)

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu \(1,2,3\) đi với x mũ chẵn. 

Ví dụ, để tính tích phân \(I=\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân \(I=\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2}+1}}\) thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 1. Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x d x\)

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{-2}{3}\).

C. \(\frac{1}{3}\).

D. \(\frac{-2}{5}\).

Đặt \(u=\sin x=\gt d u=\cos x d x\)

Đổi cận:

Khi đó:

Chọn C.

Ví dụ 2. Tính \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cdot \cos x d x\)

A. 1.

B. 0 .

C. \(2 / 3\).

D. \(1 / 4\).

Đặt \(t=\sqrt{\sin x} \Rightarrow \mathrm{t}^{2}=\sin \mathrm{x}\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}=>t=1 \\ x=0=>t=0\end{array}\right.\)\(=>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cdot \cos x d x=\int_{0}^{1} t .2 t d t\)

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính \(I=\int_{0}^{\frac{\pi^{2}}{4}} \frac{\sin 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x\)

A. 2 .

B. 3 .

C. -2 .

D. 1 .

Đặt \(\mathrm{t}=\sin \sqrt{x} \Rightarrow \mathrm{dt}=\frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} d x\)

Đổi cận: \(\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi^{2}}{4}=\gt t=1 \\ x=0=>t=0\end{array}\right.\)

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính \(I=\int_{2}^{\frac{\pi}{2}+2} \sin (x-2) d x\)

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. Đáp án khác.

Đặt \(t=x-2 \Rightarrow d t=d x\)

Đổi \(c\) ận \(\left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+2=\gt t=\frac{\pi}{2} \\ x=2=>t=0\end{array}\right.\)

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=3-2 \cos x\), với mọi \(x \in R\). Khi đó, giá trị của tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x\) bằng bao nhiêu?

A. \(I=\frac{\pi-1}{3}\).

B. \(I=\frac{\pi}{2}+2\).

C. \(I=\frac{3 \pi}{2}-2\).

D. \(I=\frac{\pi+1}{2}\).

Ta có:

Xét \(I_{1}=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{0} f(x) d x\)

Đặt \(t=-x=\gt d x=-d t\)

Ta được:

Chọn C.