Tính tích phân dựa vào phương pháp vi phân
Trong bài viết này, Examon cùng bạn khám phá phương pháp vi phân - một công cụ mạnh mẽ giúp đơn giản hóa quá trình tính tích phân
Mục lục bài viết
Hành trình khám phá kiến thức toán học luôn đầy thử thách, đặc biệt khi chúng ta bước vào bài toán của tích phân. Nó không chỉ là một phần quan trọng trong toán học, mà còn là nền tảng cho rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Để hỗ trợ các bạn trong việc nắm vững chủ đề này, Examon giới thiệu một phương pháp hiệu quả tính tích phân dựa vào phương pháp vi phân
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Phương pháp chung
Tích phân liên quan đến biểu thức đã cho đề bài \(f^{\prime}(x)+p(x) \cdot f(x)=h(x)\)
Phương pháp chung :
+ Tìm\(\operatorname{} P(x)=\int p(x) d x\)
+ Nhân hai vế với \(e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\) ta có :
\(f^{\prime}(x) \cdot e^{\int p(x) d x}+p(x) \cdot e^{\int p(x) d x} \cdot f(x)=h(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\)
\(\Leftrightarrow f^{\prime}(x) \mathrm{e}^{P(x)}+p(x) \cdot \mathrm{e}^{P(x)} f(x)=q(x) \mathrm{e}^{P(x)} \Leftrightarrow\left[f(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\right]^{\prime}=h(x) \cdot e^{\int p(x) \mathrm{d} x}\)
+ Lấy tích phân hai vế ta được \(f(x) e^{P(x)}=\int q(x) e^{P(x)} d x\). Từ đó suy ra \(f(x)\).
3. Một số trường hợp đặc biệt
3.1. Trường hợp 1
Nếu \(p(x) = 1\) \(\Leftrightarrow\) \(f^{\prime}(x)+f(x)=h(x)\)
Phương pháp chung :
+ Nhân hai vế phương trình với \(e^{x}\) ta được :
\(e^{x} \cdot f^{\prime}(x)+e^{x} \cdot f(x)=e^{x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{x} \cdot f(x)\right]^{\prime}=e^{x} \cdot h(x)\)
+ Suy ra \(e^{x} \cdot f(x)=\int e^{x} \cdot h(x) \mathrm{d} x\)
+ Từ đây ta tính được \(f(x)\)
3.2. Trường hợp 2
Nếu \(p(x) = - 1 \Leftrightarrow\) \(f^{\prime}(x)-f(x)=h(x)\)
Phương pháp chung :
+ Nhân hai vế phương trình với \(e^{-x}\) ta được :
\(e^{-x} \cdot f^{\prime}(x)-e^{-x} \cdot f(x)=e^{-x} \cdot h(x) \Leftrightarrow\left[e^{-x} \cdot f(x)\right]^{\prime}=e^{-x} \cdot h(x)\)
+ Suy ra \(e^{-x} \cdot f(x)=\int e^{-x} \cdot h(x) \mathrm{d} x\)
+ Từ đây ta tính đượ \(f(x)\)
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho \(f(x)\) thỏa mãn \(f(1)=\frac{9}{e}\) và \(f^{\prime}(x)+3 \mathrm{x}^{2} f(x)=\left(15 \mathrm{x}^{4}+12 \mathrm{x}\right) e^{-x^{3}}, \forall x \in R\).Tính \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\).
Lời giải
Ta có :
\(\left(e^{3 x} f(x)\right)=e^{3 \mathrm{x}}\left(f^{\prime}(x)+3 \mathrm{x}^{2} f(x)\right)=e^{3 \mathrm{x}}\left(15 \mathrm{x}^{4}+12 \mathrm{x}\right) e^{-3 \mathrm{x}}=15 \mathrm{x}^{4}+12 \mathrm{x}\)
Do đó: \(e^{3 x} f(x)=\int\left(15 \mathrm{x}^{4}+12 \mathrm{x}\right) d \mathrm{x}=3 \mathrm{x}^{5}+6 \mathrm{x}^{2}+C \Rightarrow f(x)=\left(3 \mathrm{x}^{5}+6 \mathrm{x}^{2}+C\right) e^{-3 \mathrm{x}}\)
Mà \(f(1)=\frac{9}{g} \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=\left(3 \mathrm{x}^{5}+6 \mathrm{x}^{2}\right) e^{-3 \mathrm{x}}\)
Khi đó \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\left(3 \mathrm{x}^{5}+6 \mathrm{x}^{2}\right) e^{-3 \mathrm{x}}\right) \mathrm{d} x=3-\frac{4}{e}\).
4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 4]\), thỏa mãn :
\(f(x)+f^{\prime}(x)=e^{-x} \sqrt{2 x+1}\) với mọi \(x \in[0 ; 4]\). Tính \(I = e^{4} f(4)-f(0)\)
Lời giải
Ta có: \(f(x)+f^{\prime}(x)=e^{-x} \sqrt{2 x+1} \Leftrightarrow e^{x} f(x)+e^{x} f^{\prime}(x)=\sqrt{2 x+1}\)
\(\Leftrightarrow\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime}=\sqrt{2 x+1}\)
Suy ra: \(\int_{0}^{4}\left[e^{x} f(x)\right]^{\prime} \mathrm{d} x=\int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} \mathrm{~d} x=\frac{26}{3} \Leftrightarrow I = e^{4} f(4)-f(0)=\frac{26}{3}\)
5. Vượt qua những bài toán khó cùng Examon
Sau khi khám phá bài viết, hy vọng rằng bạn có cái nhìn rõ hơn về phương pháp tính tích phân dựa vào vi phân. Examon đã đi qua những kiến thức nền tảng, các phương pháp chi tiết và bài tập minh họa cụ thể giúp các bạn hiểu sâu hơn và tự tin áp dụng vào các bài toán. Hãy tiếp tục rèn luyện, thực hành và khám phá thêm nhiều bài toán mới mẻ. Mỗi lần vượt qua thử thách là một bước tiến tới gần hơn với những mục tiêu cao cả trong tương lai.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!