Tính thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox
Tại sao tích phân lại là một phần không thể thiếu trong việc tính thể tích khối tròn xoay? Để trả lời cho câu hỏi đó hãy cùng Examon khám phá trong bài viết dưới đây nhé !
Mục lục bài viết
Tại sao tích phân lại là một phần không thể thiếu trong việc tính thể tích khối tròn xoay? Để trả lời cho câu hỏi, cùng Examon khám phá bài viết này nhé!
Bằng việc áp dụng kiến thức về tích phân, chúng ta đã có thể tính được thể tích của một khối tròn xoay khi xoay quanh trục Ox. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp tính thể tích này và áp dụng các kiến thức toán học vào thực tế. Hãy cùng khám phá và trải nghiệm bài toán thú vị này cùng Examon để nâng cao kiến thức của mình nhé!
1. Tóm tắt lý thuyết
Cho hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và \(a\), \(b\) là hai số bất kì thuộc \(\mathrm{K}\). Nếu \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số:
\[F(b)-F(a)\]Được gọi là tích phân của \(f\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu:
\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)
2. Phương pháp tính
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền \(D\) được giới hạn bởi các đường \(y=f(x) ; y=0 ; x=\) \(\mathrm{a} ; \mathrm{x}=\mathrm{b}\) quanh trục \(O x\) được tính theo công thức :
\[V=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x\]Chú ý : Nếu hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi hai đường \(y=f(x) ; y=g(x)\) và hai đường \(x=a ; x=b\) (với \(f(x) . g(x) \geq 0, \forall x \in[a ; b])\) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay \(\mathrm{D}\) quanh trục \(\mathrm{Ox}\) được tính bởi công thức:
\(V=\pi \int_{a}^{b}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{d} x\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1: Tính thể tích hình phẳng tạo bởi:
\[y=x^{2} ; y=\sqrt{x}\]Lời giải
Xét pt:
\[\begin{aligned}x^{2} & =\sqrt{x} \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { x \geq 0 } \\{ x ^ { 4 } = x }\end{array} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=0 \\x=1\end{array}\right.\right. \\V & =\pi \int_{0}^{1}\left|\left(x^{2}\right)^{2}-(\sqrt{x})^{2}\right| d x \\& =\pi \int_{0}^{1}\left|x^{4}-x\right| d x=\frac{-3}{10} \pi\end{aligned}\]3.2. Bài tập 2
Bài 2: Đường thẳng \(y=1-x^2\) tạo thành một khối tròn xoay với \(y=0, x=0\) và \(x=2\) quay quanh trục \(O x\). Tính thể tích khối tròn xoay thu được.
Lời giải
Áp dụng công thức ta có thể tích khối tròn xoay là:
\[V=\pi \int_{0}^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2} d x=\pi \int_{0}^{2}\left(1-2 x^{2}+x^{4}\right)dx=\left.\pi\left(x-\frac{2 x^{3}}{3}+\frac{5^{5}}{5}\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{46}{15} \pi(đ v t t)\]3.3. Bài tập 3
Bài 3: Cho \((\mathrm{A})\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{\frac{x}{4-x^{2}}}\), trục \(\mathrm{Ox}\) và đường thẳng \(\mathrm{x}=1\). Tính thể tích khối tròn xoay thu được đó khi xoay quanh hình \((\mathrm{A})\) và xoay quanh trục \(O x\).
Lời giải
Phương trình hoành dộ giao diểm \(\sqrt{\frac{x}{4-x^{2}}}=0 \Leftrightarrow x=0\).
Theo bài toán thì thể tích của vật thể tròn xoay là :
\[V=\pi \int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}} d x=-\left.\frac{\pi}{2} \ln \left|4-x^{2}\right|\right|_{0} ^{1}=\frac{\pi}{2} \ln \frac{4}{3}=\frac{\pi}{2} \ln \frac{a}{b} .\]4. Cùng ôn đề cùng Examon
Khép lại bài viết này, Examon mong rằng sự tò mò và hứng thú của các bạn học sinh đã được đánh thức bởi những ứng dụng tích phân trong việc tính toán thể tích khối tròn xoay quanh trục Ox. Những kiến thức cơ bản và phương pháp tính toán mà chúng ta đã xem không chỉ là những công thức khô khan, mà còn mở ra một thế giới toán học đầy tính ứng dụng thực tế. Hy vọng rằng, các bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức thú vị và bổ ích, giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách ứng dụng tích phân vào việc tính thể tích khối tròn xoay, và từ đó, áp dụng vào những bài toán thực tế trong học tập cũng như cuộc sống.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
