Tính đơn điệu của dãy số
Bí ẩn nằm trong những dãy số: Liệu chúng luôn tăng, luôn giảm hay biến đổi bất kỳ? Examon sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc này!
Mục lục bài viết
Trong thế giới toán học đầy mê hoặc, những dãy số luôn ẩn chứa vô vàn điều kỳ diệu. Giống như những bậc thang dẫn ta đến những kiến thức cao siêu, dãy số đưa ta vào hành trình khám phá sự tăng giảm của các giá trị, hé mở những quy luật bí ẩn chi phối sự biến đổi của chúng.
Bạn có từng say mê theo dõi những dãy số nối tiếp nhau, tự hỏi chúng sẽ "di chuyển" theo hướng nào: tăng lên hay giảm xuống? Nếu vậy, chủ đề "Tính đơn điệu của dãy số" chính là dành cho bạn!
Bạn có bao giờ thắc mắc: Liệu điểm số bài kiểm tra của bạn trong học kỳ qua sẽ tăng hay giảm? Số lượng khách hàng của một cửa hàng trong những năm tới sẽ biến động như thế nào? Hay nhiệt độ trung bình của Trái Đất trong tương lai sẽ thay đổi ra sao?
Câu trả lời cho những câu hỏi này có thể được tìm thấy trong "Tính đơn điệu của dãy số". Lĩnh vực này giúp ta dự đoán xu hướng tăng giảm của các dãy số, từ đó đưa ra những nhận định và quyết định sáng suốt trong nhiều lĩnh vực của đời sống.
Hãy cùng Examon dấn thân vào cuộc phiêu lưu đầy thú vị này, nơi ta sẽ khám phá những bí ẩn ẩn chứa trong những dãy số, giải mã quy luật tăng giảm của chúng và áp dụng kiến thức này vào thực tế để giải quyết những vấn đề hóc búa.
Hành trình này không chỉ mang đến cho ta niềm vui khám phá mà còn rèn luyện tư duy logic, óc sáng tạo và khả năng xử lý vấn đề một cách hiệu quả. Hãy sẵn sàng để cùng dãy số phiêu lưu vào thế giới toán học đầy màu sắc và chinh phục những đỉnh cao mới!
1. Kiến thức quan trọng
Phương pháp xét tính tăng giảm của dãy số
Cách 1: Xét hiệu \(u_{n-1}-u_{n}\)
\(\square\) Nếu \(u_{n+1}-u_{n}\gt 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng.
\(\square\) Nếu \(u_{n+1}-u_{n}\lt 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm.
Cách 2 : Khi \(u_{n}>0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) ta xét tỉ sô \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)
\(\square\) Nếu \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}>1\) thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng.
\(\square\) Nếu \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\lt 1\) thì \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm.
Cách 3 : Nếu dãy số \(\left(u_{n}\right)\) được cho bời một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng \(\operatorname{minh} u_{n+1}>u_{n} \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)
2. Câu hỏi trắc nghiệm
2.1. Câu 1
Xét tính đơn điệu của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=3 n+6\).
Lời giải
Ta có \(u_{n}=3 n+6 \Rightarrow u_{n+1}=3(n+1)+6=3 n+9\)
Xét hiệu \(u_{n+1}-u_{n}=(3 n+9)-(3 n+6)=3\gt 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)
Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng
Giải nhanh:
Dãy này có dạng \(u_{n}=a n+b ; \mathrm{a}=3>0\) nên dãy số tăng
2.2. Câu 2
Xét tính đơn điệu của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{n+5}{n+2}\).
Lời giải
Ta có \(u_{n}=\frac{n+5}{n+2}=1+\frac{3}{n+2} \Rightarrow u_{n+1}=1+\frac{3}{n+3}\)
Xét hiệu \(u_{n+1}-u_{n}=\frac{3}{n+3}-\frac{3}{n+2}=\frac{-3}{(n+2)(n+3)}\lt 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)
Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm
Giải nhanh:
Dãy này có dạng \(u_{n}=\frac{a n+b}{c n+d}\)
Mẫu \(n+2\gt 0 \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) và \(a d-b c=2-5=-3\lt 0\) nên \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số giảm
2.3. Câu 3
Xét tính đơn điệu của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{5^{n}}{n^{2}}\).
Lời giải
Ta có \(u_{n}=\frac{5^{n}}{n^{2}}\gt 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{(n+1)^{2}}\)
Xét tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{5^{n+1}}{(n+1)^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{5^{n}}=\frac{5 n^{2}}{n^{2}+2 n+1}=\frac{n^{2}+2 n+1+4 n^{2}-2 n-}{n^{2}+2 n+1}\)
\[=1+\frac{2 n(n-1)+2 n^{2}-1}{n^{2}+2 n+1}>1, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\]Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là dãy số tăng
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
