Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong & trục hoành

Tính diện tích vùng phẳng giới hạn bởi \(y=x^{2}\) và trục hoành từ \(x=0\) đến \(x=2\)

B1) Xác định hàm số và giới hạn

B2) Lập biểu thức diện tích

B3) Tìm nguyên hàm của  \(x^{2}\)

B4) Tính giá trị của tích phân

=> diện tích vùng phẳng giới hạn bởi \(y=x^{2}\) và trục hoành từ \(x=0\) đến \(x=2\) là \(\frac{8}{3}\) đơn vị diện tích.

Tính diện tích vùng phẳng giới hạn bởi \(y=\sin (x)\) và trục hoành từ \(x=0\) đến \(x=\pi\)

B1) Xác định hàm số và giới hạn

B2) Lập biểu thức diện tích

B3) Tính nguyên hàm của \(\sin (x)\)

B4) Tính giá trị của tích phân

\(A=[-\cos (x)]_{0}^{\pi}=-\cos (\pi)-(-\cos (0))\)

\(=-(-1)-(-1)=1+1=2\)

=> diện tích vùng phẳng giới hạn bởi \(y=\sin (x)\) và trục hoành từ \(x=0\) đến \(x=\pi\) là 2 đơn vị diện tích.

Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số \(y=x^{3}-x\) và trục hoành bằng \(\frac{a}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính I=2a+5b

A. \(I=11\).

B. \(I=12\).

C. \(I=13\).

D. \(I=14\).

Giai:

Xét phương trình \(x^{3}-x=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x= \pm 1\end{array}\right.\)

Do đó \(S=\int_{-1}^{1}\left|x^{3}-x\right| d x\)

=\(\left|\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right) d x\right|+\left|\int_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x\right|\)

\(\left.=\left.\left|\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{-1}^{0}|+|\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1} \right\rvert\,=\frac{1}{2}\)

=>a \(a=1, b=2 \Rightarrow I=2 a+5 b=12\).

=> đáp án B

Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=2 x^{2}-x^{4}\) và trục hoành bằng \(\frac{a}{b} \sqrt{2}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(T=a-b\).

A. \(T=-7\).

B. \(T=1\).

C. \(T=4\).

D. \(T=2\).

Giai:

Xét phương trình \(2 x^{2}-x^{4}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x= \pm \sqrt{2}\end{array}\right.\)

Do đó \(S=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left|2 x^{2}-x^{4}\right| d x\)

\(=\left|\int_{-\sqrt{2}}^{0}\left(2 x^{2}-x^{4}\right) d x\right|+\left|\int_{0}^{\sqrt{2}}\left(2 x^{2}-x^{4}\right) d x\right|\)

\(\left.=\left.\left|\left(\frac{2 x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right)\right|_{-\sqrt{2}}^{0}|+|\left(\frac{2 x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right)\right|_{0} ^{\sqrt{2}} \right\rvert\,=\frac{16 \sqrt{2}}{15}\)

=> \(a=16, b=15 \Rightarrow T=a-b=1\)

=> đáp án B

Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{2}-x-2\) và trục hoành bằng \(\frac{a}{b}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(a \leq b\)

B. \(a=b^{2}+1\).

C. \(a\gt b+10\).

D. \(a=b+7\).

Giai:

Xét phương trình \(x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-1 \\ x=2\end{array}\right.\)

Do đó \(S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x\)

\(\left.=\left|\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-x-2\right) d x\right|\left|\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2 x\right)\right|_{-1}^{2} \right\rvert\,=\frac{9}{2}\)

=> \(a=9, b=2 \Rightarrow a=b+7\)

=> đáp án D