Tính chẵn, lẽ và chu kì của hàm lượng giác
Bài viết dưới đây, Examon sẽ cho các bạn học sinh lớp 11 biết cách xác định tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số lượng giác.
Mục lục bài viết
Chu kì của hàm số lượng giác là gì, xác định ra sao? Tính chẵn, lẻ của hàm số được xác định bằng cách nào. Có những gì cần chú ý khi làm dạng bài này, cùng Examon tìm hiểu bạn cách tính chu kì lượng giác nhé.

1. Phương pháp giải
a. Tính tuần hoàn và chu kì:
Định nghĩa:
Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số \(\mathrm{T} \neq 0\) sao cho với mọi \(\mathrm{x} \in \mathrm{D}\) ta có:
- \((x-T) \in D\) và \((x+T) \in D\)
- \(f\ (x+T)=f(x)\).
Số dương \(T\) nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số \(\mathrm{y}=\sin x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\); hàm số \(\mathrm{y}=\) \(\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\); hàm số \(\mathrm{y}=\tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\pi\); hàm số \(\mathrm{y}=\cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\pi\)
Chú ý:
- Hàm số \(y=\sin (a x+b)\) tuần hoàn với chu kì \(T=T=\frac{2 \pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\cos (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\tan (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{\pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\cot (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\mathrm{T}=\frac{\pi}{|a|}\)
Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}_{1}\) và hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}_{2}\) thì hàm số \(y=f_{1}(x) \pm f_{2}(x)\) tuần hoàn với chu kì \(T_{0}\) là bội chung nhỏ nhất của \(T_{1}\) và \(T_{2}\).
Định nghĩa:
Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu:
- \(x \in D\) và \(-x \in D\).
- \(f(x)=f(-x)\).
Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu:
- \(x \in D\) và \(-x \in D\).
- \(f(x)=-f(-x)\).
2. Ví dụ minh họa
Những ví dụ minh họa về cách tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm lượng giác sẽ giúp bạn có cái nhìn sơ lược về dạng bài này.
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:
a. \(y=\sin (2 x+3)\)
b. \(\mathrm{y}=\cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2}\)
Đáp án và lời giải
a. Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T=2 \pi / 2=\pi\).
b.
Ta có \(\mathrm{y}=\cos \frac{3 x}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos x+\cos 2 x)\)
Ta có hàm số \(\mathrm{y}=\cos x\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\), hàm số \(\mathrm{y}=\cos 2 \mathrm{x}\) tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\) \(\pi\).
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T=2 \pi\).
Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: \(y=\cos x+\cos \sqrt{3} x\).
Đáp án và lời giải
Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T \neq 0\).
Khi đó ta có:
\[\cos (x+T)+\cos [\sqrt{3}(x+T)]=\cos x+\cos \sqrt{3} x \text {. }\]Cho \(x=0\).
Ta có: \(\cos T+\cos \sqrt{3} T=2\).
Vì \(\cos x \leq 1\) với mọi \(x\) nên ta có:
\[\left\{\begin{array} { c } { \operatorname { c o s } T = 1 } \\{ \operatorname { c o s } \sqrt { 3 } T = 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}T=k 2 \pi \\\sqrt{3} T=m 2 \pi\end{array} \Rightarrow \sqrt{3}=\frac{m}{k}\right.\right.\]mà \(m, k \in Z\) (vô lý).
Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn.
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
Ví dụ 3: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. \(y=\sin x\).
b. \(y=\cos (2 x)\).
Đáp án và lời giải
a. Tập xác định \(D=R\). Lấy \(x \in D\) thì \(-x \in D\).
Ta có: \(\sin (-x)=-\sin x\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
b. Tập xác định \(D=R\). Lấy \(x \in D\) thì \(-x \in D\).
Ta có: \(\cos (-2 x)=\cos (2 x)\).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
3. Lời kết
Tới đây chắc hẳn các bạn cũng đã biết phần nào về cách tính chẵn, lẻ và chu kì của hàm số rồi nhỉ. Dạng này thuộc dạng đơn giản nên cố gắng ghi nhớ và lấy điểm phần này nhé.

4. Học tốt cùng Examon
Nhớ được bản chất của vấn đề sẽ giúp làm bài hiệu quả hơn. Và nếu có nhiều thứ để học thì bạn hãy chia ra mỗi ngày một ít để ôn luyện từ từ. Tất cả dạng bài ôn luyện đa số đều có ở Examon nên khôn cần tìm kiếm đâu xa hết bạn nhé.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!