Tính bị chặn của dãy số

Nguyễn Thị Ngọc Giang

Dẫu cho dãy số bị chặn, tình ta với Toán vẫn mãi nồng nàn. Examon luôn đồng hành bên bạn!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Bài tập thực hành
    • 2.1. Bài 1
    • 2.2. Bài 2
    • 2.3. Bài 3
  • 3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
  • 4. Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Như những vì sao lấp lánh trên bầu trời đêm, dãy số ẩn chứa muôn vàn bí ẩn, thôi thúc trí tò mò của con người. Giữa vô vàn dãy số, có những dãy số bị giới hạn bởi những ranh giới hữu hình, được gọi là "dãy số bị chặn".

Hãy cùng dạo bước trong khu vườn toán học, nơi những con số nhảy múa theo giai điệu du dương, khám phá vẻ đẹp ẩn chứa trong "bản tình ca về tính bị chặn" của dãy số.

Tưởng chừng đơn giản, nhưng "bản tình ca" này lại ẩn chứa nhiều cung bậc cảm xúc. Đôi khi, dãy số bị chặn bởi những giới hạn rõ ràng, như những nốt nhạc trầm bổng vang lên trong bản giao hưởng. Lúc khác, ranh giới lại mờ ảo, như những nốt luyến, tạo nên sự chuyển đổi tinh tế trong giai điệu.

Dù ở cung bậc nào, "bản tình ca" này cũng mang đến cho ta những bài học quý giá. Nó dạy ta về sự giới hạn của bản thân, về tầm quan trọng của việc đặt ra mục tiêu và nỗ lực để đạt được. Đồng thời, nó cũng khơi gợi niềm đam mê khám phá, thôi thúc ta dấn thân vào hành trình chinh phục những chân trời tri thức mới.

Hãy cùng lắng nghe "bản tình ca về tính bị chặn" của dãy số, để cảm nhận vẻ đẹp của toán học và mở ra cánh cửa tri thức vô tận.

banner

1. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cách 1: Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=f(n)\) là hàm số đơn giản. Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức \(u_{n}=f(n) \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) hoặc \(u_{n}=f(n) \geq m, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

Cách 2: Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=v_{1}+v_{2}+\ldots+v_{k}+\ldots+v_{n}\)Ta làm trội \(v_{k} \leq a_{k}-a_{k+1}\)

Lúc đó \(u_{n} \leq\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(a_{2}-a_{3}\right)+\ldots\left(a_{n}-a_{n+1}\right)\)

Suy ra \(u_{n} \leq a_{1}-a_{n+1} \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

Cách 3: Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=v_{1} \cdot v_{2} v_{3} \ldots v_{n}\) với \(v_{n}\gt 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

Ta làm trội \(v_{k} \leq \frac{a_{k+1}}{a_{k}}\)Lúc đó \(u_{n} \leq \frac{a_{2}}{a_{1}} \cdot \frac{a_{3}}{a_{2}} \ldots \frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)

Suy ra \(u_{n} \leq \frac{a_{n+1}}{a_{1}} \leq M, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số \(\left(u_{n}\right)\) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số \(\left(u_{n}\right)\) giảm thì bị chặn trên, dãy số ( \(\left.u_{n}\right)\) tăng thì bị chặn duới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=q^{n} \quad(|q| \leq 1)\) bị chặn

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=q^{n} \quad(q\lt -1)\) không bị chă̆n

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=q^{n}\) với \(q\gt 1\) bị chặn dưới

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=a n+b\) bị chặn dưới nếu \(a>0\) và bị chặn trên nếu \(a\lt 0\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=a n^{2}+b n+c\) bị chặn dưới nếu \(a\gt 0\) và bị chặn trên nếu \(a\lt 0\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=a_{m} n^{m}+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_{1} n+a_{0}\) bị chặn dưới nếu \(a_{m}>0\) và bị chặn trên nếu \(a_{m}\lt 0\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=q^{n}\left(a_{m} n^{m}+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_{1} n+a_{0}\right)\) với \(a_{m} \neq 0\) và \(q\lt -1\) không bị chặn

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=\sqrt{a_{m} n^{m}+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_{1} n+a_{0}}\) bị chặn dưới với \(a_{m}>0\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=\sqrt[3]{a_{m} n^{m}+a_{m-1} n^{m-1}+\ldots+a_{1} n+a_{0}}\) bị chặn dưới nếu \(a_{m}>0\) và bị chặn trên nếu \(a_{m}\lt 0\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=\frac{P(n)}{Q(n)}\) trong đó \(P(n)\) và \(Q(n)\) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của \(P(n)\) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của \(Q(n)\)

Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}=\frac{P(n)}{Q(n)}\) trong đó \(P(n)\) và \(Q(n)\) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của \(P(n)\) lớn hơn bậc của \(Q(n)\)

2. Bài tập thực hành

2.1. Bài 1

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{-1}{2 n+3}\).

Lời giải

Ta có \(2 n+3 \geq 5, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow 0\lt \frac{1}{2 n+3} \leq \frac{1}{5}, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow-\frac{1}{5} \leq \frac{-1}{2 n+3}\lt 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

\[\Rightarrow-\frac{1}{5} \leq u_{n}\lt 0\]

Suy ra dãy số \(\left(u_{n}\right)\) bị chặnGiải nhanh: dãy số \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{n}\) có bậc của tư thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn

2.2. Bài 2

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\).

Lời giải

Ta có \(u_{n}=\frac{n^{3}}{n^{2}+1}\gt 0, \forall n \in \mathbb{N}^{*} \Rightarrow\left(u_{n}\right)\) bị chặn dưới

2.3. Bài 3

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Lời giải

Xét \(\frac{1}{k^{2}}\lt \frac{1}{(k-1) k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}, \forall k \geq 2\)

Suy ra \(u_{n}\lt \frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}\lt \frac{3}{2}\)\(\Rightarrow 0\lt u_{n}\lt \frac{3}{2}, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\)

Vậy \(\left(u_{n}\right)\) bị chặn

3. Cùng Examon chinh phục sự thành công

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!

4. Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon