Tìm số hạng thứ k của cấp số nhân

1. Phương pháp giải

Ta chuyển các số hạng của CSN về số hạng dầu \(u_{1}\) và công bội \(q\).

Sử dụng công thức \(u_{n}-u_{1} \cdot q^{n-1}\).

Chia hai phương trình vế theo vế ta thu được phương trình theo \(q\). Giải tìm \(q\) và \(u_{1}\). Từ dó tìm dược số hạng cần tìm thỏa ycbt.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Cho \(u_{n}\) là CSN thỏa \(u_{1}-2 ; u_{4}-16\). Tìm số hạng thứ 5 của CSN.

Lời giải chi tiết

Do \(u_{n}\) là CSN nên ta có \(u_{4}=u_{1} \cdot q^{3} \Rightarrow q^{3}=\frac{u_{4}}{u_{1}}=8 \Rightarrow q=2\).

Vậy \(u_{5}=u_{1} \cdot q^{4}=2 \cdot 2^{4}=32\).

2.2 Ví dụ 2

Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1536 và số hạng thứ 12 bằng 6144 . Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân dó.

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết ta có

\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 0 } = 1 5 3 6 } \\{ u _ { 1 2 } = 6 1 4 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } a ^ { 9 } = 1 5 3 6 } \\{ u _ { 1 } q ^ { 1 1 } = 6 1 4 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { q ^ { 2 } = 4 } \\{ u _ { 1 } q ^ { 9 } = 1 5 3 6 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}q=2 ; u_{1}=3 \\q=-2 ; u_{1}=-3 .\end{array}\right.\right.\right.\right.\]

Số hạng thứ 20 là \(u_{20}=u_{1} q^{19}=2 \cdot 3^{19}\).

2.3 Ví dụ 3

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=25 \\ u_{3}-u_{1}=50\end{array}\right.\)

a) Tìm số hạng dầu và công bội của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\).

b) Tìm số hạng thứ 8 của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta co \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=25 \\ u_{3}-u_{1}=50\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(q^{3}-q\right)=25 \\ u_{1}\left(q^{2}-q\right)=50\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{2} \\ u_{1}=-200 .\end{array}\right.\right.\right.\)

b) Ta có \(u_{8}=u_{1} \cdot q^{7}=-200 \cdot \frac{1}{2^{7}}=-\frac{25}{16}\).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144 \text {. }\end{array}\right.\)

Bài 2: Cho cấp số nhân có \(u_{1}=-3, q=\frac{2}{3}\). Tính \(u_{5}\) ?

Bài 3: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=2\) và công bội \(q=3\). Số hạng \(u_{2}\) bằng?

Bài 4: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=3\) và \(15 u_{1}-4 u_{2}+u_{3}\) dạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân dā cho.

Bài 5: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{6}=-540 \\ u_{3}+u_{5}=180\end{array}\right.\). Tính số hạng dằu \(u_{1}\) và công bội \(q\) của cấp Số nhân.

4. Học tập hiểu qủa cùng Examon

Như vậy, Examon đã tóm tắt lại toàn bộ kiến thực về cách tìm số hạng thứ k của cấp số nhân. Hy vong bài viết sẽ giúp các bạn củng cố thêm kiến thức và mở rộng thêm nhiều các giải bài tập hay. Đồng hành cùng Examon để thấy toán học thật thú vị.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.