Tìm Nguyên hàm bằng cách liên kết

Gỉa sử cần lấy nguyên hàm của hàm số f(x) mà gặp khó khăn, nếu tìm được một hàm số g(x) sao cho có thể lấy nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x) và f(x) - g(x), thì ta sẽ lấy hai nguyên hàm này và bằng cách giải hệ phương trình sẽ suy ra nguyên hàm của f(x)

Phương pháp:

- chọn hàm liên kết thích hợp

- tìm nguyên hàm của tổng và hiệu các hàm liên kết

-  giải hệ phương trình để xác định các nguyên hàm cần tìm

Minh họa:

vd1. cho I=\(\int \frac{\sin x d x}{\sin x+\cos x}\) và \(J=\int \frac{\cos x d x}{\sin x+\cos x}\) . tính I+J và I-J. suy ra giá trị của I, J bằng?

giải:

\(I+J=\int \frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int 1 . d x=x+C_{1}\).

\(I-J=\int \frac{\sin x-\cos x}{\cos x+\sin x} d x=\int \frac{-(\cos x+\sin x)^{\prime}}{\cos x+\sin x} d x\)

\(=-\ln |\cos x+\sin x|+C_{2}\).

=> \(2 I=x-\ln |\cos x+\sin x|+C_{1}+C_{2}\).

\(2 J=x+\ln |\cos x+\sin x|+C_{1}-C_{2}\).

vậy:

\(I=\frac{1}{2}[x-\ln |\cos x+\sin x|]+C\).

\(J=\frac{1}{2}[x+\ln |\cos x+\sin x|]+C\).

vd2: Tính I=\(\int \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) và \(J=\int \sin ^{2} x \cos 2 x d x\).

giải:

\(I+J=\int \cos 2 x d x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C_{1}(1)\).

\(I-J=\int\left(\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\right) \cos 2 x d x=\int \cos ^{2} 2 x d x\)

\(I-J=\frac{1}{2} \int(1+\cos 4 x) d x=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C_{2}(2)\).

từ 1 và 2 suy ra

\(\left\{\begin{array}{l}I+J=\frac{1}{2} \sin 2 x+C_{1} \\ I-J=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C_{2}\end{array}\right.\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}I=\frac{1}{4}\left(x+\sin 2 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C \\ J=-\frac{1}{4}\left(x-\sin 2 x+\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+C\end{array}\right.\)

vd3: Tính I=\(\int \frac{\cos ^{2} x}{\cos 2 x} d x\)

giải:

đặt J=\(\int \frac{\sin ^{2} x}{\cos 2 x} d x\)

ta có 

\(I+J=\int\left(\frac{\cos ^{2} x}{\cos 2 x}+\frac{\sin ^{2} x}{\cos 2 x}\right) d x=\int \frac{1}{\cos 2 x} d x\)

= \(\frac{1}{2} \ln \left|\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C_{1}\).

\(I-J=\int \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{\cos 2 x} d x\)

\(\int \frac{\cos 2 x}{\cos 2 x} d x=\int 1 d x=x+C_{2}\)

suy ra

2I= x + \(\frac{1}{2} \ln \left|\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C_{1}+C_{2}\).

vậy

\(I=\frac{x}{2}+\frac{1}{4} \ln \left|\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C\).

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần kết hợp với phương pháp liên kết

Minh họa:

vd1: Tính I=\(\int e^{a x} \cdot \cos b x d x\) và \(J=\int e^{a x} \cdot \sin b x d x\).

giải:

tính I

đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x} \quad \Rightarrow u^{\prime}=a \cdot e^{x} \\ v^{\prime}=\cos b x \Rightarrow v=\frac{1}{b} \sin b x\end{array}\right.\)

=> I=\(\frac{1}{b} e^{a x} \cdot \sin b x-\frac{a}{b} \int e^{a x} \sin b x d x\).

= \(-\frac{1}{b} e^{a x} \cdot \cos b x+\frac{a}{b} \cdot I(2)\).

thay 2 vào 1:

I= \(\frac{1}{b} e^{a x} \cdot \sin b x-\frac{a}{b}\left(-\frac{1}{b} e^{a x} \cos b x+\frac{a}{b} I\right)\)

vậy

I=\(\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^{2}+b^{2}}+C\).

tương tự thay 1 vào 2 ta được

J=\(\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^{2}+b^{2}}+C\).

vd2. cho I = \(\int \frac{e^{x} d x}{e^{x}+e^{-x}}\) và \(J=\int \frac{e^{-z} d x}{e^{x}+e^{-x}}\). Tính I + J & I - J. suy ra giá trị của I và J

giải:

ta có 

I + J = \(\int\left(\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}+\frac{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x=\int 1 . d x=x+C_{1}\).

I - J = \(\left(\frac{e^{x}}{e^{x}+e^{-x}}-\frac{e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\right) d x\)

= \(\int \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} d x=\int \frac{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{\prime}}{e^{x}+e^{-x}} d x\)

=  ln\(\left(e^{x}+e^{-x}\right)+C_{2}\)

=> 2I = x+ln\(\left(e^{x}+e^{-x}\right)+C_{1}+C_{2}\)

\(2 J=x-\ln \left(e^{x}+e^{-x}\right)+C_{1}-C_{2}\).

vậy

\(I=\frac{1}{2}\left[x+\ln \left(e^{x}+e^{-x}\right)\right]+C\).

\(J=\frac{1}{2}\left[x-\ln \left(e^{x}+e^{-x}\right)\right]+C^{\prime}\)

vd3. Tính I=\(\int \cos (\ln x) d x\) và \(J=\int \sin (\ln x) d x\)

giải:

để tính I = \(\int \cos (\ln x) d x\) ta dùng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=\cos (\ln x) \Rightarrow d u=-\frac{\sin (\ln x)}{x} d x \\ d v=d x \quad \Rightarrow v=x\end{array}\right.\)

ta có 

\(I=\int \cos (\ln x) d x=x \cos (\ln x)+\int \sin (\ln x) d x=x \cos (\ln x)+J(1)\)

tương tư, bằng cách đặt

u = sin(lnx) và dv = dx, ta lại tính được 

J = xsin(lnx) - I (2)

từ 1 và 2:

\(\left\{\begin{array}{l}I=x \cos (\ln x)+J \\ J=x \sin (\ln x)-I\end{array}\left\{\begin{array}{l}I=\frac{1}{2} x[\cos (\ln x)+\sin (\ln x)]+C_{1} \\ J=\frac{1}{2} x[\sin (\ln x)-\cos (\ln x)]+C_{2}\end{array}\right.\right.\)

đề:

1. tìm nguyên hàm F(x)  của hàm số\(f(x)=\frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x}\).

2. tính \(I=\int\left(a \cos ^{2} w t+b \sin ^{2} w t\right) d t\).

giải:

1. với g(x) = \(\frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x}\)

ta có: f(x) + g(x) = 1

và f(x) - g(x) = \(\frac{\cos ^{4} x-\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x}=\frac{\cos 2 x}{1-\frac{1}{2} \sin ^{2} 2 x}\)

vậy

\(\left\{\begin{array}{l}F(x)+G(x)=x+C_{1} \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \ln \left|\frac{\sqrt{2}+\sin 2 x}{\sqrt{2}-\sin 2 x}\right|+C_{2}\end{array}\right.\)

=> F(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{1}{4 \sqrt{2}} \ln \left|\frac{\sqrt{2}+\sin 2 x}{\sqrt{2}-\sin 2 x}\right|+C\).

2. 

đặt J = \(\left.b \cos ^{2} w t+a \sin ^{2} w t\right) d t\). 

ta có:

\(I+J=\int(a+b) d t=(a+b) t+C_{1}(1)\)

\(I-J=\int(a-b) \cos 2 w t d t=\frac{a-b}{2 w} \sin 2 w t+C_{2}(2)\)

từ (1) và (2) 

=> I = \(\frac{a-b}{4 w} \sin 2 w t+\frac{a+b}{2} t+C\).

Chú ý: ta có thể tính trực tiếp I bằng cách biến đổi như sau:

\(\cos ^{2} w t=\frac{1+\cos 2 w t}{2}\) và \(\sin ^{2} w t=\frac{1-\cos 2 w t}{2}\) rồi thay vào vẫn sẽ đạt được kết quả tương tự 

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.

NHỮNG LỢI ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LẠI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ AI phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống AI bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng