Tìm giá trị MIN-MAX của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

1.1 Phương pháp 1

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản\(\forall x \in R, n \in \mathbb{N}^{*}\) ta luôn có:

\(\begin{array}{l}-1 \leq \sin x \leq 1, \quad-1 \leq \sin ^{2 n+1} x \leq 1 \\ -1 \leq \cos x \leq 1, \quad-1 \leq \cos ^{2 n+1} x \leq 1 \\ 0 \leq|\sin x| \leq 1, \quad 0 \leq \sin ^{2 n} x \leq 1 \\ 0 \leq|\cos x| \leq 1, \quad 0 \leq \cos ^{2 n} x \leq 1\end{array}\)

1.2 Phương pháp 2

Sự dụng định nghĩa:

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên miền \(D\).

+ Số thực dương \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu:

\[\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{M}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D} \\\exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{D}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\mathrm{M}\end{array}\right.\]

+ Số thực dương \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên \(D\) nếu:

\[\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq \mathrm{m}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D} \\\exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{D}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\mathrm{m}\end{array}\right.\]

1.3 Phương pháp 3

Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số, từ đó rút ra kết luận.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y=2 \sin 4 x+5\);

b) \(y=3-2 \cos 2 x\).

Lời giải chi tiết

a) \(\forall x \in R\) ta có:

\(-1 \leq \sin 4 x \leq 1 \Leftrightarrow-2 \leq 2 \sin 4 x \leq 2 \Leftrightarrow 3 \leq 2 \sin 4 x+5 \leq 7\).

Vậy đạt được khi

\(\sin 4 \mathrm{x}=1 \Leftrightarrow 4 x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\).

Vậy đạt được khi \(\sin 4 \mathrm{x}=-1 \Leftrightarrow 4 x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\).

b) \(\forall x \in \mathbb{R}\) ta có: \(-1 \leq \cos 2 x \leq 1 \Leftrightarrow-2 \leq-2 \cos 2 x \leq 2 \Leftrightarrow 1 \leq 3-2 \cos 2 x \leq 5\).

Vậy đạt được khi

\(\cos 2 \mathrm{x}=-1 \Leftrightarrow 2 x=\pi+k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

\(\min _{\mathbb{R}} y=1\) đạt được

khi \(\cos 2 \mathrm{x}=1 \Leftrightarrow 2 x=k 2 \pi, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x=k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

2.2 Ví dụ 2

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=2 \cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x+1\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Tính tổng \(M+m\).

Lời giải chi tiết

Ta có

\[\begin{array}{l}y=2 \cos ^{2} x-2 \sqrt{3} \sin x \cos x+1 \\=\left(2 \cos ^{2} x-1\right)-\sqrt{3} \cdot 2 \sin x \cos x+2 \\=\cos 2 x-\sqrt{3} \sin 2 x+2 \\=2\left(\frac{1}{2} \cos 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x\right)+2 \\=2\left(\cos \frac{\pi}{3} \cos 2 x-\sin \frac{\pi}{3} \sin 2 x\right)+2 \\=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+2 .\end{array}\]

Mặt khác \(\forall x \in \mathbb{R}: 0 \leq 2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)+2 \leq 4 \Leftrightarrow 0 \leq y \leq 4\).

Suy ra: \(M=4, m=0\).

Vậy \(M+m=4\).

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Hàm số nào sau đây có tập giá trị là \(\mathbb{R}\) ?

A. \(y=\sin x\);

B. \(y=\tan 2 x\);

C. \(y=\cos 2 x\)

D. \(y=-\sin 2 x\).

Bài 2. Tập giá trị của hàm số \(y=2 \cos x\) là

A. \(T=[-2 ; 2] ;\)

B. \(T=[-1 ; 1]\);

C. \(T=R\);

D. \(T=(-1 ; 1)\).

Bài 3. Xét bốn mệnh đề sau:

i) Trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(\mathrm{y}=\cos x\) có tập giá trị là \([-1\); 1].

ii) Trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\), hàm số \(y=\cos x\) có tập giá trị là \([0 ; 1]\).

iii) Trên \(\left[0 ; \frac{3 \pi}{4}\right]\), hàm số \(y=\cos x\) có tập giá trị là \(\left[0 ; \frac{\sqrt{2}}{2}\right]\).

iv) Trên \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right]\), hàm số \(y=\cos x\) có tập giá trị là \([0 ; 1)\).

Số phát biểu đúng là

A. 1 ;

B. 2;

C. 3 ;

D. 4 .

Bài 4. Gọi \(\mathrm{M}\) và \(\mathrm{m}\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\sqrt{1+\sin x}-3\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(M=3-\sqrt{2}, m=-\sqrt{2}\);

B. \(M=3+\sqrt{2}, m=3\);

С. \(M=3+\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\);

D. \(M=\sqrt{2}-3, m=-3\).

Bài 5. Tập giá trị \(T\) của hàm số \(y=4 \cos ^{2} 2 x+3\) là

A. \(T=[3 ; 7] ;\)

B. \(T=[0 ; 7]\);

C. \(T=\mathbb{R}\);

D. \(T=[0 ; 3]\).

Bài 6. Gọi \(\mathrm{M}, \mathrm{m}\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathrm{y}=2 \cos x+\) 3 trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{3}\right]\). Giá trị biểu thức \(M \cdot \mathrm{m}\) bằng

A. -3 ;

B. 5;

C. 6;

D. 20 .

Bài 7. Xét bốn mệnh đề sau:

i) Trên \(\mathbb{R}\), hàm số \(y=\sin x\) có tập giá trị là \([-1 ; 1]\).

ii) Trên \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right.\), hàm số \(y=\sin x\) có tập giá trị là \([-1 ; 1]\).

iii) Trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\), hàm số \(y=\sin x\) có tập giá trị là \([0 ; 1]\).

iv) Trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right)\), hàm số \(\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}\) có tập giá trị là \((0 ; 1]\).

Số phát biểu đúng là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4 .

4. Mỗi ngày một kiến thức mới cùng Examon

Như vậy, Examon đã tổng hợp tất cả các kiến thức liên quan đến cách tìm giá trị MIN-MAX của hàm số lượng giác. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và tìm thấy niềm vui khi học toán. Để thấy toán không khô khan mà còn rất thú vị. Đồng hành cùng Examon trên con đường tìm kiến tri thức.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh