Tiếp cận với khai triển nhị thức Newton
Níu giữ trái tim Toán học bằng bản tình ca nhị thức với Examon!
Mục lục bài viết
Như một bản tình ca say đắm, Toán học luôn ẩn chứa những giai điệu diệu kỳ, khơi gợi trí tò mò và niềm đam mê cho biết bao tâm hồn. Trong bản giao hưởng ấy, nhị thức Newton vang lên như một khúc hoan ca rộn rã, mở ra cánh cửa diệu kỳ dẫn lối ta đến thế giới mới mẻ của những phép tính tinh vi và những ứng dụng vô tận.
Newton, con người mang trong mình trí tuệ phi thường, đã ban tặng cho nhân loại món quà quý giá mang tên nhị thức Newton. Công thức tưởng chừng đơn giản ấy, ẩn chứa trong mình sức mạnh phi thường, giúp ta chinh phục những đỉnh cao của Toán học, giải mã những bí ẩn của vũ trụ, và kiến tạo nên những kỳ quan khoa học.
Nhị thức Newton như một người bạn đồng hành cùng ta trên hành trình khám phá Toán học. Nó giúp ta khai triển những biểu thức phức tạp một cách dễ dàng, mở ra cánh cửa đến với vô vàn bài toán hóc búa.
Hôm nay, hãy cùng Examon hòa mình vào giai điệu du dương của nhị thức Newton, để cảm nhận sức mạnh kỳ diệu của Toán học, và khám phá những điều kỳ diệu ẩn chứa trong phép tính tưởng chừng đơn giản này. Hãy để trái tim Toán học của bạn rung động trước vẻ đẹp thanh tao và sức mạnh vô biên của nhị thức Newton.
1. Kiến thức quan trọng
Nhị thức Newton: Cho \(a, b\) là các số thực và \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Ta có:
\[(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}=C_{n}^{0} a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+C_{n}^{2} a^{n-2} b^{2}+\cdots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+C_{n}^{n} b^{n}\]Nhận xét:
- Trong khai triển \((a \pm b)^{n}\) có \(n+1\) số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng rhau: \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\).
- Số hạng tổng quát dạng: \(T_{n+2}=C_{n}^{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^{k}\) và số hạng thứ \(N\) thì \(k=N-1\).
- Trong khai triển \((a-b)^{2}\) thì dấu đan nhau, nghĩa là + , rồi -, rồi,\(+ \ldots .\). .
- Số mũ của \(a\) giảm dần, số mũ của \(b\) tăng dần nhưng tổng số mũ \(a\) và \(b\) bằng \(n\).
2. Câu hỏi thường gặp
2.1. Câu 1
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \((2 x-3)^{2018}\)
A. 2019 .
B. 2017 .
C. 2018 .
D. 2020 .
Lời giải
Số số hạng trong khai triển là: \(n+1=50+1=51\).
2.2. Câu 2
Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn \((x-y)^{5}\).
A. \(x^{5}-5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}-10 x^{2} y^{3}+5 x y^{4}-y^{5}\).
B. \(x^{5}-5 x^{4} y-10 x^{3} y^{2}-10 x^{2} y^{3}-5 x y^{4}+y^{5}\).
C. \(x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}+5 x y^{4}+y^{5}\).
D. \(x^{5}+5 x^{4} y-10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}-5 x y^{4}+y^{5}\).
Lời giải
Ta có:
\[\begin{array}{l}(x-y)^{5}=[x+(-y)]^{5}=C_{5}^{0} x^{5}+C_{5}^{1} x^{4}(-y)^{1}+C_{5}^{2} x^{3}(-y)^{2}+C_{5}^{3} x^{2}(-y)^{3}+C_{5}^{4} x^{1}(-y)^{4}+C_{5}^{5}(-y)^{5} \\\text { Hay }(x-y)^{5}=x^{5}-5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}-10 x^{2} y^{3}+5 x y^{4}-y^{5} .\end{array}\]2.3. Câu 3
Từ khai triển biểu thức \((x+1)^{10}\) thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là
A. 1023 .
B. 512 .
C. 1024 .
D. 2048 .
Lời giải
Xét khai triển \(f(x)=(x+1)^{10}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot x^{k}\).
Gọi \(S\) là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có \(S=f(1)=(1+1)^{10}=2^{10}=1024\).
2.4. Câu 4
Cho khai triển \((1-2 x)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{20} x_{20}\). Giá trị của \(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}\) bằng:
A. 1 .
B. \(3^{20}\).
C. 0 .
D. -1 .
Lời giải
\[(1-2 x)^{20}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{20} x_{20}\]Thay \(x=1\) vào (1) ta có: \(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}=(-1)^{20}=1\).
3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
