Tích phân và các phương pháp tính tích phân đơn giản nhất

1. Định nghĩa

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

Nhận xét: 

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\). 

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

Ý nghĩa hình học của tích phân: 

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\) 

2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\((k\) là hằng số\()\)

8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

Chú ý: 

Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

\(\sqrt{a^{2}-x^{2}} \xrightarrow{x=a \sin t}\left\{\begin{array}{l}d x=a \cos t d t \\ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} t}=|a \cos t|\end{array}\right.\)\(\sqrt{x^{2}-a^{2}} \xrightarrow{x=\frac{a}{\sin t}}\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{-a \cos d t}{\sin ^{2} t} \\ \sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{\sin ^{2} t}-a^{2}}=|a \cot t|\end{array}\right.\)

\(\left[\begin{array}{l}\sqrt{a^{2}+x^{2}} \\ a^{2}+x^{2}\end{array} \xrightarrow{x=a \tan t}\right.\) \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{a d t}{\cos ^{2} t} \\ \sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2} \tan ^{2} t}=\left|\frac{a}{\cos t}\right|\end{array}\right.\)

Ví dụ:  \(I_{4}=\int_{0}^{3} \frac{d x}{9+x^{2}}\)

Hướng dẫn giải:

Đặt:\(x=3 \tan t \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{3 d t}{\cos ^{2} t}=3\left(1+\tan ^{2} t\right) d t \\ 9+x^{2}=9\left(1+\tan ^{2} t\right)\end{array}\right.\)Đổi cận : \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=0 \\ x=3 \Rightarrow t=\frac{\pi}{4}\end{array} \longrightarrow I_{4}=\int_{0}^{3} \frac{d x}{9+x^{2}}\right.\)\(=3 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\left(1+\tan ^{2} t\right) d t}{9+9 \tan ^{2} t}=\left.\frac{1}{3} t\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{12}\)

•Trong biểu thức của \(f(x)dx\) có chứa căn thì đặt căn đó bằng \(t\).

•Trong biểu thức của \(f(x)dx\) có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng \(t\).

•Trong biểu thức của \(f(x)dx\) có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng \(t\).

Ví dụ: \(I_{3}=\int_{0}^{1} x^{15} \sqrt{1+3 x^{8}} d x\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\sqrt{1+3 x^{8}}=t \Leftrightarrow 1+3 x^{8}=t^{2}\)Đổi cận : \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=1 \\ x=1 \Rightarrow t=2\end{array}\right.\)\(\longrightarrow I_{3}=\int_{0}^{1} x^{15} \sqrt{1+3 x^{8}} d x\)\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}24 x^{7} d x=2 t d t \Rightarrow x^{7} d x=\frac{t d t}{12} \\ x^{8}=\frac{t^{2}-1}{3}\end{array}\right.\)\(=\int_{1}^{2} x^{8} \sqrt{1+3 x^{8}} \cdot x^{7} d x=\frac{1}{12} \int_{1}^{2} \frac{\left(t^{2}-1\right)}{3} \cdot t t d t\)\(=\frac{1}{36} \int_{1}^{2}\left(t^{4}-t^{2}\right) d t=\left.\frac{1}{36}\left(\frac{t^{5}}{5}-\frac{t^{3}}{3}\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{29}{270}\)

Định lí: Nếu \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và \(\mathrm{v}(\mathrm{x})\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \([a ; b]\) thì:

Áp dụng công thức trên ta có quy tắc công thức tích phân từng phần sau:

Bước 1: Viết \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) dưới dạng \(u d v=u v^{\prime} d x\) bằng cách chọn một phần thích hợp của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) làm \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và phần còn lại \(d v=v^{\prime}(x) d x\).

Bước 2: Tính \(d u=u d x\) và \(v=\int d v=\int v^{\prime}(x) d x\).

Bước 3: Tính \(\int_{a}^{b} v d u=\int_{a}^{b} v u u^{\prime} d x\) và \(\left.u v\right|_{a} ^{b}\).

Bước 5: Áp dụng công thức trên

Chú ý: 

Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và \(d v=v^{\prime} d x\) thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\). 

Nói chung nên chọn u là phần của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn \(d v=v d x\) là phần của \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

•Nếu tính tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} P(x) Q(x) d x\) mà \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức chứa \(\mathrm{x}\) và \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\) là một trong những hàm số: \(e^{a x}, \cos a x, \sin a x\) thì ta thường đặt

•Nếu tính tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} P(x) Q(x) d x\) mà \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức của \(\mathrm{x}\) và \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\) là hàm số \(\ln (\mathrm{ax})\) thì ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=Q(x) \\ d v=P(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=Q(x) d x \\ v=\int P(x) d x\end{array}\right.\right.\) 

•Nếu tính tích phân \(I=\int_{\alpha}^{\beta} e^{a x} \cos b x d x\) 

Hoặc \(J=\int_{\alpha}^{\beta} e^{a x} \sin b x d x\) 

Thì ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x} \\ d v=\cos b x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=a e^{a x} d x \\ v=\frac{1}{b} \sin b x\end{array}\right.\right.\)hoặc đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x} \\ d v=\sin b x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=a e^{a x} d x \\ v=-\frac{1}{b} \cos b x\end{array}\right.\right.\)

Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó có thể suy ra kết quả tích phân cần tính.

Ví dụ:

a)Tính tích phân \(\mathrm{I}=\int_{1}^{3} \frac{3+\ln \mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)^{2}} \mathrm{dx}(\mathrm{ĐH}-\mathrm{KB}-2009)\)

Hướng dẫn giải:

Đặt \(\mathrm{u}=\ln \mathrm{x} \Rightarrow \mathrm{du}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\)\(\mathrm{dv}=\frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{x}+1)^{2}}\). Chon \(v=\frac{-1}{\mathrm{x}+1}\)\(\mathrm{I}_{2}=-\left.\frac{\ln x}{\mathrm{x}+1}\right|_{1} ^{3}+\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)}=-\frac{\ln 3}{4}+\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}-\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}+1}=-\frac{\ln 3}{4}+\ln \frac{3}{2}\)Vậy : \(\mathrm{I}=\frac{3}{4}(1+\ln 3)-\ln 2\)

b) Tính \(\int_{1}^{e} x \ln x d x\)

Hướng dẫn giải: \(\quad\) 

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)

Bài toán: Tính \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Định lí: Nếu 

1) Hàm \(x=u(t)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([\alpha ; \beta]\).

2) Hàm hợp \(f(u(t))\) được xác định trên \([\alpha ; \beta]\),3) \(u(\alpha)=a, u(\beta)=b\), thì \(I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{\beta} f(u(t)) u^{\prime}(t) d t\)

Ví dụ: Hãy tính tích phân sau:

a) Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{3} x-1\right) \cos ^{2} x \cdot d x\)(ĐH-KA-2009)b) \(I=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+5} d x\)c) \(J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+1\right) \cos x d x\)

Lời giải chi tiết:

 a) \(\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{5} x \cdot d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x\)

\(×  \mathrm{dx}=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \mathrm{x}) \\)

\(× \mathrm{dx}=\left.\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}+\frac{1}{2} \sin 2 \mathrm{x}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{4}\)

Ta có: \(\mathrm{I}_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} \mathrm{x} \\)Mặt khác xét \(I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{5} x \cdot d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x \cdot \cos x \cdot d x\)

Vậy \(I=I_{1}-I_{2}=\frac{8}{15}-\frac{\pi}{4}\)b) Ta có \(d\left(x^{3}+5\right)=3 x^{2} d x \Rightarrow \frac{d\left(x^{3}+5\right)}{3}=x^{2} d x\)

Định lí: Nếu hàm số \(u=u(x)\) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a ; b]\) sao cho \(f(x) d x=g(u(x)) u(x) d x=g(u) d u\) thì \(\boldsymbol{I}=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} g(u) d u\).

Ví dụ: Tính \(I=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+5} d x\) 

Lời giải chi tiết: 

Đặt \(u(x)=x^{3}+5\)

Tacó \(u(0)=5, u(1)=6\) 

Từ đó được: \(\quad I=\frac{1}{3} \int_{5}^{6} \sqrt{u} d u=\left.\frac{2}{9} u \sqrt{u}\right|_{5} ^{6}=\frac{2}{9}(6 \sqrt{6}-5 \sqrt{5})=\frac{4}{9} \sqrt{6}-\frac{10}{9} \sqrt{5}\)

a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:

Xét \(\Delta=b^{2}-4 a c\).+)Nếu \(\Delta=0\) thì \(I=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{d x}{a\left(x-\frac{b}{2 a}\right)^{2}}\) tính được.+)Nếu \(\Delta\gt 0\) thì \(I=\frac{1}{a} \int_{\alpha}^{\beta} \frac{d x}{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}\),(trong đó \(x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2 a} ; x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2 a}\) )

Đặt \(x+\frac{b}{2 a}=\sqrt{\frac{-\Delta}{4 a^{2}}} \operatorname{tg} t \Rightarrow d x=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{-\Delta}{a^{2}}}\left(1+\operatorname{tg}^{2} t\right) d t\), ta tính được \(\mathrm{I}\)

b) Tính tích phân: \(I=\int_{a}^{\beta} \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} d x, \quad(a \neq 0)\).(trong đó \(f(x)=\frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c}\) liên tục trên đoạn \([\alpha ; \beta]\) )+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm \(\mathrm{A}\) và \(\mathrm{B}\) sao cho:

+) Ta có \(\mathrm{I}=\int_{a}^{\beta} \frac{m x+n}{a x^{2}+b x+c} d x=\int_{a}^{\beta} \frac{A(2 a x+b)}{a x^{2}+b x+c} d x+\int_{a}^{\beta} \frac{B}{a x^{2}+b x+c} d x\)Tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} \frac{A(2 a x+b)}{a x^{2}+b x+c} d x=\left.A \ln \left|a x^{2}+b x+c\right|\right|_{\varepsilon} ^{\beta}\)Tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} \frac{d x}{a x^{2}+b x+c}\) tính được. 

* Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản

Ví dụ: Hãy tính các tích phân sau:

a) \(J=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 x \sin 7 x d x\);

b) \(K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right) d x\)

Lời giải

a) \(J=\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 5 x d x-\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 9 x d x=\left.\frac{1}{10} \sin 5 x\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.\frac{1}{18} \sin 9 x\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{4}{45}\).

*Dạng 2: Đổi biến số để hũu tỉ hóa tích phân hàm lự̂ng giác

Tính \(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}\)

Phương pháp:

Đặt \(t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}}\)

Ta có: \(\sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}}\) và \(\cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\)\(I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}=\int \frac{2 d t}{(c-b) t^{2}+2 a t+b+c}\) đã biết cách tính.

Ví dụ: Tính \(\int \frac{d x}{4 \cos x+3 \sin x+5}\)

Lời giải: 

Đặt \(t=\operatorname{tg} \frac{x}{2} \Rightarrow d t=\frac{1}{2}\left(1+\tan ^{2} \frac{x}{2}\right) d x \Leftrightarrow \frac{2 d t}{1+t^{2}}=d x\)