Tích phân từng phần - Bài tập và phương pháp giải

Trương Hồng Hạnh

Trong bài viết này, hãy cùng Examon khám phá về công thức cơ bản và các bước áp dụng phương pháp này.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Kiến thức cần nhớ
  • 2. Phương pháp giải
    • 2.1. Định lí
    • 2.2. Phương pháp chung
  • 3. Bài tập minh họa
    • 3.1. Bài tập 1
    • 3.2. Bài tập 2
    • 3.3. Bài tập 3
  • 4. Cánh cửa mới của Toán học

Hôm nay, Examon cùng sẽ bạn bắt đầu một hành trình mới trong thế giới của tích phân - một khám phá về một kỹ thuật mạnh mẽ được gọi là "tích phân từng phần". Đây không chỉ là một chủ đề thú vị mà còn là một công cụ quan trọng của chúng ta khi khám phá và giải quyết các vấn đề toán học và thực tế phức tạp. Bạn đã sẵn sàng khám phá thế giới mới của tích phân từng phần cùng Examon chưa? 

banner

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số \(f\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và a, b là hai số bất kì thuộc \(\mathrm{K}\). Nếu \(\mathrm{F}\) là một nguyên hàm của \(\mathrm{f}\) trên \(\mathrm{K}\) thì hiệu số:

\[F(b)-F(a)\]

Được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu:

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

2. Phương pháp giải

2.1. Định lí

Nếu \(u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục trên \([a ; b]\) thì ta có:

\[\begin{array}{l}\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d c=\left.(u(x) v(x))\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x \\\text { Нау } \int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{b}^{a} v d u\end{array}\]

2.2. Phương pháp chung

Bước 1: Viết \(f(x) d x\) dưới dạng \(u d v=u v^{\prime} d x\) bằng cách chọn một phần tích hợp của \(f(x)\) làm \(u(x)\) và phần còn lại \(d v=v^{\prime}(x) d x\)

Bước 2: Tính du=u'dx và \(u=\int d v=\int v^{\prime}(x) d x\)

Bước 3: Tính \(\int_{a}^{b} v d u=\int_{a}^{b} u^{\prime} v d x\) và \(\left.u v\right|_{a} ^{b}\)

Bước 4: Áp dụng công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} u v d=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\)

3. Bài tập minh họa

3.1. Bài tập 1

Bài tập 1: Tính tích phân sau :  \(I=\int_{0}^{1}(2-x) e^{x} d x\)

Lời giải

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=2-x \\ d v=e^{x} d x\end{array}\right.\) 

Ta có \(:\left\{\begin{array}{l}d u=-d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\)

Suy ra: \(I=\left.(2-x) e^{x}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} e^{x} d x\) \(=\left.(2-\mathrm{x}) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right|_{0} ^{1}+\left.\mathrm{e}^{\mathrm{x}}\right|_{0} ^{1}\)

Vậy \(I=2e-3\)

3.2. Bài tập 2

Bài tập 2: Tính tích phân sau : \(\mathrm{I}=\int_{1}^{3} \frac{\ln x}{x^{3}} d x\)

Lời giải 

Đặt \(u=\ln x, d v=\frac{d x}{x^{3}}\)

Ta có \(\mathrm{du}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\), chọn \(\mathrm{v}=-\frac{1}{2 \mathrm{x}^{2}}\) 

Khi đó: \(I=-\left.\frac{\ln x}{2 x^{2}}\right|_{1} ^{3}+\int_{1}^{3} \frac{\mathrm{dx}}{2 x^{3}}\) \(=-\frac{\ln 3}{18}-\left.\frac{1}{4 x^{2}}\right|_{1} ^{3}=\frac{4- \ln 3}{18}\)

3.3. Bài tập 3

Bài tập 3: Tính\(I=\int_{1}^{2}(2x + 1) \cdot \ln x d x\)

Lời giải 

\[\begin{array}{l}\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\d v=(2x+1) d x\end{array}\right. \\\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{1}{x} d x \\v= x^{2}+ x\end{array}\right.\end{array}\]

Khi đó: \(I=\left.\left( x^{2}+ x\right) \ln x\right|_{1} ^{2}-\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+ x}{x} d x\)

\[\begin{array}{l}=6 \ln 2-0-\left.\left(\frac{x^{2}}{2}+ x\right)\right|_{1} ^{2} \\=6 \ln 2-0-\left[\left(\frac{2^2}{2} + 2\right)-\left(\frac{1^2}{2}  + 1\right)\right] \\=6 \ln 2-\frac{5}{2} \end{array}\]

4. Cánh cửa mới của Toán học

Tích phân từng phần mở ra một cánh cửa mới, cho phép chúng ta tiếp cận và giải quyết các vấn đề phức tạp một cách linh hoạt và hiệu quả hơn. Qua việc chia nhỏ vấn đề lớn thành các phần nhỏ, chúng ta có thể tiến tới giải quyết một cách logic và có hệ thống, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về bản chất của vấn đề và cách tiếp cận nó.

Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn đã có cái nhìn tổng quan và đầy hứng thú về tích phân từng phần. Hãy tiếp tục nỗ lực và khám phá sâu hơn về toán học - một thế giới đầy sáng tạo và kỳ diệu!

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!

image.png
Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon