TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN - BÀI TẬP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Examon ở đây sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề về tích phân.
Mục lục bài viết
Tích phân từng phần được hiểu đơn giản là biến tích phân từ phức tạp thành những thành phần đơn giản, dễ dàng tính toán được. Nghe có vẻ đơn giản nhưng liệu các bạn có thể áp dụng chúng để vào giải các bài tập tích phân hay không ? Để trả lời cho câu hỏi đó cùng Examon tìm hiểu các dạng bài tập phổ biến nhất của phương pháp tích phân từng phần qua bài viết bên dưới nhé .
1. Lý thuyết trọng tâm
Cho 2 hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a;b]\) .Nếu \(d u=u^{\prime}(x) d x\) và \(d v=v^{\prime}(x) d x\), thì tích phân từng phần phát biểu rằng:
\[\begin{aligned}\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x & =[u(x) v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) d x \\& =u(b) v(b)-u(a) v(a)-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) d x\end{aligned}\]hay gọn hơn công thức tổng quát sau:
\[\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\]2. Phương pháp chung
Phương pháp giải :
Áp dụng công thức trên ta có quy tắc tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:
- Bước 1: Viết \(f(x) d x\) dưới dạng \(u d v=u v^{\prime} d x\) bằng cách chọn một phần thích hợp của \(f(x)\) làm \(u(x)\) và phần còn lại \(d v=v^{\prime}(x) d x\).
- Bước 2: Tính \(d u=u^{\prime} d x\) và \(v=\int d v=\int v^{\prime}(x) d x\).
- Bước 3: Tính \(\int_{a}^{b} v d u=\int_{a}^{b} v u^{\prime} d x\) và \(u v \left\lvert\, \begin{array}{l}b \\ a\end{array}\right.\).
- Bước 4: Áp dụng công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\).
Ví dụ : Cho tích phân \(\int_{0}^{2}(2 x+1) e^{x} d x=a e^{2}+b e+c \quad(a, b, c \in \mathbb{Q})\). Tính \(S=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)
Lời giải :
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=2 x+1 \\ d u=e^{x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=2 d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)
\(\Rightarrow \int_{0}^{2}(2 x+1) e^{x} d x=\left.(2 x+1) e^{x}\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} e^{x} d x=\left.(2 x-1) e^{x}\right|_{0} ^{2}=3 e^{2}+1\)
Suy ra \(a=3 ; b=0 ; c=1 \Rightarrow S=a^{2}+b^{2}+c^{2}=10\).
3. Các dạng toán trọng tâm tích phân từng phần
3.1. Dạng 1 : Tích phân chứa hàm đa thức và hàm logarit
Công thức chung : \(\int_{m}^{n} f(x) \ln (a x+b) d x\) trong đó \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải :
Khi gặp dạng toán này, hãy thực hiện các bước sau :
- Bước 1: Ta tiến hành đặt
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ : Tính tích phân \(I=\int_{1}^{e} x \ln x \mathrm{~d} x\).
Lời giải :
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)
Khi đó \(I=\left.\frac{x^{2} \ln x}{2}\right|_{1} ^{e}-\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x=\frac{e^{2}}{2}-\left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{1} ^{e}=\frac{e^{2}+1}{4}\)
3.2. Dạng 2: Tích phân chứa hàm đa thức và hàm mũ
Công thức chung : \(\int_{m}^{n} f(x) e^{a x+b} d x\) trong đó \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải :
- Bước 1: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\frac{1}{a} e^{a x+b}\end{array}\right.\right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int_{m}^{n} f(x) e^{a x+b} d x=\left.u v\right|_{m} ^{n}-\int_{m}^{n} v d u\)
Ví dụ : Tính : \(I=\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x\)
Lời giải :
\[\text { Đặt }\left\{\begin{array} { l } { u = x } \\{ d v = e ^ { - 2 x } d x }\end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}d u=d x \\d v=-\frac{1}{2} e^{-2 x}\end{array}\right.\right.\]Áp dụng công thức tính tích phân từng phần, ta được:
\[\begin{array}{l}\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x \\=-\left.\frac{x}{2} e^{-2 x}\right|_{0} ^{1}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-2 x} d x \\=-\left.\frac{x}{2} e^{-2 x}\right|_{0} ^{1}-\left.\frac{1}{4} e^{-2 x}\right|_{0} ^{1} \\=\frac{1}{4}\left(1-\frac{3}{e^{2}}\right)\end{array}\]Vậy \(I=\frac{e^{2}-3}{4 e^{2}}\)
3.3. Dạng 3 : Tích phân chứa hàm đa thức và hàm lượng giác
Công thức chung : \(\int_{m}^{n} f(x) \sin (a x+b) d x\) hoặc \(\int_{m}^{n} f(x) \cos (a x+b) d x\) trong đó \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải :
- Bước 1: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=\sin (a x+b) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)\end{array}\right.\right.\) hoặc
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int_{m}^{n} f(x) \sin (a x+b) d x=\left.u v\right|_{m} ^{n}-\int_{m}^{n} v d u\) hoặc \(\int_{m}^{n} f(x) \cos (a x+b) d x=\left.u v\right|_{m} ^{n}-\int_{m}^{n} v d u\)
Ví dụ : Tính
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2 x d x\]Lời giải :
\(\begin{array}{l}\text { Đă̆t }\left\{\begin{array}{c}u=x \\ d v=\sin 2 x d x\end{array}\right. \\ \rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=d x \\ v=\frac{-1}{2} \cos 2 x\end{array}\right. \\ \rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sin 2 x d x=\left.x \cdot\left(-\frac{1}{2} \cos 2 x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2 x d x \\ =\left.\frac{1}{4} \sin 2 x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{4} \\\end{array}\)
3.4. Dạng 4 : Tích phân chứa hàm mũ và hàm lượng giác
Công thức chung : \(\int_{m}^{n} e^{a x+b} \sin (c x+d) d x\) hoặc \(\int_{m}^{n} e^{a x+b} \cos (c x+d) d x\)
Phương pháp giải :
- Bước 1: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\sin (c x+d) d x\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\cos (c x+d) d x\end{array}\right.\)
- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int_{m}^{n} u d v=\left.u v\right|_{m} ^{n}-\int_{m}^{n} v d u\)
Ví dụ : Tính tích phân của biểu thức sau:
\[I=\int e^{-2 x} \cos 3 x d x\]Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{-2 x} \\ d v=\cos 3 x d x\end{array} \Longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=-2 e^{-2 x} \\ v=\frac{1}{3} \sin 3 x\end{array}\right.\right.\)
Khi đó ta có:
\[\begin{array}{l}I=\frac{1}{3} e^{-2 x} \sin 3 x+\frac{2}{3} \int e^{-2 x} \sin 3 x d x \\\text { Đặt }\left\{\begin{array} { l } { u = e ^ { - 2 x } } \\{ d v = \operatorname { s i n } 3 x d x }\end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}d u=-2 e^{-2 x} \\v=-\frac{1}{3} \cos 3 x\end{array}\right.\right.\end{array}\]Khi đó ta có:
\[\begin{aligned}I & =\frac{1}{3} e^{-2 x} \sin 3 x+\frac{2}{3}\left[-\frac{1}{3} e^{-2 x} \cos 3 x-\frac{2}{3} \int e^{-2 x} \cos 3 x d x\right] . \\& =\frac{1}{9} e^{-2 x}(3 \sin 3 x-2 \cos 3 x)-\frac{4}{9} \int e^{-2 x} \cos 3 x d x \\& =\frac{1}{9} e^{-2 x}(3 \sin 3 x-2 \cos 3 x)-\frac{4}{9} I \\& \Rightarrow \frac{13}{9} I=\frac{1}{9} e^{-2 x}(3 \sin 3 x-2 \cos 3 x) \\& \text { Vậy } I=\frac{1}{13} e^{-2 x}(3 \sin 3 x-2 \cos 3 x)+C\end{aligned}\]4. Sơ đồ tư duy - Các dạng toán
5. Chăm chỉ để đạt được thành công
Qua bài viết trên, chúng ta có thể thấy rằng phương pháp tích phân từng phần là công cụ mạnh mẽ trong việc giải các bài toán tích phân phức tạp. Tích phân có thể khó hiểu ban đầu nhưng với sự kiên nhẫn và thực hành liên tục nó sẽ giúp bạn dần dần nắm vững. Cuối cùng, đừng quên rằng mỗi bài toán tích phân không chỉ là một thách thức mà nó còn là cơ hội để bạn có thể hiểu rõ hơn về nó. Chúc bạn thành công trên hành trình khám phá và chinh phục kiến thức mới.
6. Phương pháp học Toán hiệu quả
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
Bài tập cuối chương I | 1 |
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.