Cách tính Tích phân bằng phương pháp Từng phần

1. Tích phân là gì?

1.1 Khái niệm

Khái niệm:

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

Nhận xét:

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

1.2 Tính chất

1. Tính chất 1

\[\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\]

( \(k\) là hằng số)

2. Tính chất 2

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x\]

3. Tính chất 3

\[\begin{array}{l}\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \\(a\lt c\lt b) .\end{array}\]

2. Tích phân từng phần là gì?

2.1 Khái niệm

- Tích phân từng phần là phương pháp tính tìm tích phân của các hàm số có dạng dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó.

- Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

- Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chưa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: Hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giá và hàm số mũ.

- Cho f là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F\) là một nguyên hàm của \(f\) trên [a;b]. Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\), kí hiệu là \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

- Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\left.F(x)\right|_{a} ^{b_{a}^{b}=F(b)-F(a)}\). Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào cách ghi biển số.

- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\) thì tích phân \(\int_{0}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(\mathrm{x}=\mathrm{a}, \mathrm{x}=\mathrm{b}\). Vậy \(\mathrm{S}=\int_{0}^{b} f(x) d x\).2.

2.2 Công thức tính Tích phân từng phần

- Giả sử cho \(\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và \(\mathrm{v}=\mathrm{v}(\mathrm{x})\) có đạo hàm liên tục trong miền \(\mathrm{D}\), khi đó: Công thức tính nguyên hàm:

\[\int u d v=u v-\int v d u\]

Công thức tính tích phân:

\[\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\]

- Nhận dạng: hàm dưới dấu tích phân thuờng là tích của hai loại hàm số khác nhau.

- Chú ý: Ta chọn \(u\) sao cho dễ tính \(du\) nhất. Và chọn \(v\) sao cho dễ tìm nguyên hàm \(dv\) nhất.

Ví dụ: Tính tích phân \(I=\int_{1}^{2} \ln t d t\).

- Bài giải:

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln t \\ d v=d t\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d t}{t} \\ v=t\end{array}\right.\right.\)

Khi đó

\[I=\left.t \ln t\right|_{1} ^{2}-\int_{1}^{2} d t=\left.t \ln t\right|_{1} ^{2}-\left.t\right|_{1} ^{2}=2 \ln 2-1\]

3. Cách tính Tích phân bằng phương pháp Từng phần

3.1 Công thức

Nếu \(u(x), v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a, b]\) thì :

\[\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x=\left.[u(x) \cdot v(x)]\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x\]

Tổng quát hơn cho nguyên hàm:

\[\int u(x) v^{\prime}(x) d x=[u(x) \cdot v(x)]-\int v(x) u^{\prime}(x) d x\]

Viết gọn là :

\[\begin{array}{l}\int_{a}^{b} u d v=\left.(u \cdot v)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u \text { và } \\\int_{a} u d v=(u . v)-\int^{v d u}\end{array}\]

3.2 Các bước tính Tích phân bằng phương pháp Từng phần

- Bước 1: Biến đồi tích phân ban đầu về dạng \(I=\int_{a}^{b} f(x) \cdot g(x) d x\).

- Bước 2: Đặt\(\left\{\begin{array}{l}u=f(x) \\ d v=g(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=\int g(x) d x\end{array}\right.\right.\) (chọn \(v\) là một nguyên hàm của \(\left.g(x)\right)\).

- Bước 3: Khi đó \(I=\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\).

• Lưu ý: Thứ tự ưu tiên chọn \(u:\) Logarit \(\rightarrow\) đa thức \(\rightarrow\) Lượng giác = mũ.

3.3 Một số dạng phổ biến

Dạng 1.

\[\int p(x)\left[\begin{array}{c}\sin f(x) \\\cos f(x) \\\tan f(x) \\e^{f(x)}\end{array}\right] d x\]

Đặt \(u=p(x)\) và \(\left[\begin{array}{c}\sin f(x) \\ \cos f(x) \\ \tan f(x) \\ e^{f(x)}\end{array}\right] d x=d v\)

Trong đó \(p(x)\) thường là đa thức, có thế là phân thức, hàm vô tỷ của \(x\)

Dạng 2 .

\[\int p(x) \cdot \ln f(x) d x\]

Đặt \(u=\ln f(x)\) và \(p(x) d x=d v\)

Dạng 3.

\[\begin{array}{l}\int e^{f(x)}\left[\begin{array}{l}\sin g(x) \\\cos g(x)\end{array}\right] d x \\\text { dat } u=e^{f(x)} \text { hoac } u=\left[\begin{array}{l}\sin g(x) \\\cos g(x)\end{array}\right]\end{array}\]

4. Bài tập và phương pháp giải chi tiết

Bài 1: Tính tích phân sau:

a) \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(2 x+3) \cdot \sin 4 x \cdot d x\)

b) \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x(x+\cos x) d x\)

Lời giải:

a) Ta có:

\[\begin{array}{l}\text { Đặt: }\left\{\begin{array} { l } { u = 2 x + 3 } \\{ d v = \operatorname { s i n } 4 x . d x }\end{array} \text { ta có: } \left\{\begin{array}{l}d u=2 \cdot d x \\v=-\frac{1}{4} \cos 4 x \cdot d x\end{array}\right.\right. \\\Rightarrow I=\left(-\frac{1}{4}(2 x+3) \cos 4 x\right)_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 4 x \cdot \mathrm{dx} \\=\left(-\frac{1}{4}(2 x+3) \cos 4 x+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sin 4 x\right)_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\=\frac{\pi}{8}+\frac{3}{2} \text {. } \\\end{array}\]

b) Ta có: \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x d x\)

\[\begin{array}{l}\text { Vói } I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2} d x=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi^{3}}{24} \\\text { Với } I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x d x\end{array}\]

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\cos x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.\)

\[\begin{array}{c}I_{2}=\left.x \sin x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x \\=\frac{\pi}{2}+\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1 \\\text { Vậy } I=\frac{\pi^{8}}{24}+\frac{\pi}{2}-1\end{array}\]

Bài 2: Tính tích phân sau:

a) \(I=\int_{0}^{1}(1-x) e^{x} d x\)

b) \(I=\int_{0}^{1} x^{2} \cdot e^{-x} d x\)

Lời giải:

\[\begin{array}{l}\text { Đặt }\left\{\begin{array}{l}u=1-x \\d v=e^{x} d x\end{array}\right. \\\text { ta có : }\left\{\begin{array}{l}d u=-d x \\v=e^{x}\end{array}\right. \\\text { Suy ra: } I=\left.(1-x) e^{x}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} e^{x} d x \\=\left.(1-x) e^{x}\right|_{0} ^{1}+\left.e^{x}\right|_{0} ^{1}\end{array}\]

Suy ra: \(I=\left.(1-x) e^{x}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} e^{x} d x\)

Vậy \(I=e-2\)

b) Đặt \(\mathrm{u}=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{dv}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{dx}\), ta có:\(d u=2 x d x\), chọn \(v=-e^{-x}\)

\[\begin{array}{l}\text { Khi đó: } I=\left.\left(-e^{-x} \cdot x^{2}\right)\right|_{0} ^{1}+2 \int_{0}^{1} x \cdot e^{-x} d x=-\frac{1}{e}+2 K, \\\text { vói } K=\int_{0}^{1} x \cdot e^{-x} d x\end{array}\]

Tính K: Đặt \(\mathrm{u}=\mathrm{x}^{2}, \mathrm{dv}=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{dx}\), ta có: \(\mathrm{du}=\mathrm{dx}\), chọn \(v=e^{-x}\).

Khi đó: \(\mathrm{K}=\left.\left(-\mathrm{x} \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{x}}\right)\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \mathrm{dx}\)

\[\begin{array}{c}=-\frac{1}{\mathrm{e}}-\left(\frac{1}{\mathrm{e}}-1\right)=-\frac{2}{\mathrm{e}}+1 \\\text { Vậy } I=-\frac{5}{\mathrm{e}}+2\end{array}\]

Bài 3: Tính tích phân sau

\[I=\int_{0}^{1} x\left(\sqrt{x^{2}+1}+e^{x}\right) d x\]

Lời giải:

\[\begin{array}{l}\text { Có } I=\int_{0}^{1} x\left(\sqrt{x^{2}+1}+e^{x}\right) d x \\=\int_{0}^{1} x \sqrt{x^{2}+1} d x+\int_{0}^{1} x^{x} d x=I_{1}+I_{2}\end{array}\]

Đặt \(\mathrm{t}=\sqrt{\mathrm{x}^{2}+1} \Rightarrow \mathrm{t}^{2}=\mathrm{x}^{2}+1 \Rightarrow \mathrm{tdt}=\mathrm{xdx}\)

Đổi cận: \(\mathrm{x}=0 \Rightarrow \mathrm{t}=1 ; \mathrm{x}=1 \Rightarrow \mathrm{t}=\sqrt{2}\)

Suy ra \(I_{1}=\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{t}^{2} \mathrm{dt}=\left.\frac{\mathrm{t}^{3}}{3}\right|_{1} ^{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{2}-1}{3}\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\)

suy ra \(I_{2}=\left.x^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} d x=e-\left.e^{x}\right|_{0} ^{1}=1\)

Vậy \(I=\frac{2 \sqrt{2}+2}{3}\)

Bài 4: Tính tích phân sau

\[I=\int_{e}^{e^{2}}\left(\frac{1}{\ln ^{2} x}-\frac{1}{\ln x}\right) d x\]

Lời giải:

\[I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{1-\ln x}{\ln ^{2} x} d x=\int_{e}^{e^{2}} \frac{x(1-\ln x)}{x \cdot \ln ^{2} x} d x\]

Đặt \(u=x(1-\ln x), d v=\frac{1}{x \cdot \ln ^{2} x} d x\), ta có \(\mathrm{du}=-\ln x \mathrm{~d} x\), chọn \(\mathrm{v}=-\frac{1}{\ln x}\)

Khi đó: \(I=\left.\frac{x(1-\ln x)}{\ln x}\right|_{e} ^{e^{2}}-\int_{e}^{e^{2}} d x\)

\[=\frac{e^{2}}{2}-\left(e^{2}-e\right)=e-\frac{e^{2}}{2}\]

Bài 5: Tính tích phân sau

\[I=\int_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{(x+1)^{2}} d x\]

Lời giải:

Đặt \(\mathrm{u}=3+\ln \mathrm{x}, \mathrm{dv}=\frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{x}+1)^{2}}\), ta có: \(d u=\frac{d x}{x}\), chọn \(v=-\frac{1}{x+1}\).

Khi đó:

\[\begin{array}{l}I=\left.\frac{3+\ln x}{x+1}\right|_{1} ^{3}+\int_{1}^{3} \frac{d x}{x(x+1)} \\=-\frac{3+\ln 3}{4}+\frac{3}{2}+\int_{1}^{3}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) d x=\frac{3-\ln 3}{4}+\left.\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|\right|_{1} ^{3} \\=\frac{1}{4}\left(3+\ln \frac{27}{16}\right)\end{array}\]

Lời kết

Tích phân từng phần và áp dụng phương pháp từng phần để tính tích phân cũng không quá khó phải không nào các bạn! Nếu nắm vững được các định nghĩa, các công thức và các phương pháp giải Examon tin chắc rằng bạn có thể giải các dạng bài tập về Tích phân một cách nhanh chóng.

Examon hy vọng rằng qua bài viết trên các bạn đã nắm được cho mình những kiến thức hữu ích để có thể áp dụng giải các bài tập và các dạng toán về Tích phân. Và hãy tích cực thực hành bằng cách giải thật nhiều bài tập về dạng đề này để nắm vững cách làm các bạn nhé!

Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!