Tích phân từng phần lớp 12

1. Định lý.

• Nếu \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và \(\mathrm{v}(\mathrm{x})\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \([a ; b]\) thì:

\(\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x\)

\(=(u(x) v(x)) \mid a-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x \)

Hay \( \int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u .\)

Hay \(\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u .\)

2. Tính chất.

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)

2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]

\((k\) là hằng số\()\)

8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

3. Các bước thực hiện.

3.1. Bước 1

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau •Viết \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) dưới dạng \(u d v=u v d x\) bằng cách chọn một phần thích hợp của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) làm \(\mathrm{u}(\mathrm{x})\) và phần còn lại \(d v=v(x) d x\).

3.2. Bước 2

• Tính \(d u=u d x\) và \(v=\int d v=\int v^{\prime}(x) d x\).

3.3. Bước 3

• Tính \(\int_{a}^{b} v d u=\int_{a}^{b} v u d x\) và \(\left.u v\right|_{a} ^{b}\).

4. Chú ý.

• Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn \(\mathrm{u}\) và \(d v=v d x\) thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\).

• Nói chung nên chọn \(\mathrm{u}\) là phần của \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn \(d v=v d x\) là phần của \(\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

• Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

- Nếu tính tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} P(x) Q(x) d x\) mà \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức chứa \(\mathrm{x}\) và \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\) là một trong những hàm số: \(e^{a x}, \cos a x, \sin a x\) thì ta thường đặt

\(\left\{\begin{array} { l } { u = P ( x ) } \\{ d v = Q ( x ) d x }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d u=P(x) d x \\v=\int Q(x) d x\end{array}\right.\right.\)

- Nếu tính tích phân \(\int_{\alpha}^{\beta} P(x) Q(x) d x\) mà \(\mathrm{P}(\mathrm{x})\) là đa thức của \(\mathrm{x}\) và \(\mathrm{Q}(\mathrm{x})\) là hàm số \(\ln (\mathrm{ax})\) thì ta đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=Q(x) \\ d v=P(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=Q(x) d x \\ v=\int P(x) d x\end{array}\right.\right.\)

- Nếu tính tích phân \(I=\int_{\alpha}^{\beta} e^{a x} \cos b x d x\) hoặc \(\quad J=\int_{\alpha}^{\beta} e^{\alpha x} \sin b x d x\) thì ta đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=e^{\alpha x} \\ d v=\cos b x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=a e^{a x} d x \\ v=\frac{1}{b} \sin b x\end{array}\right.\right.\)

hoặc đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x} \\ d v=\sin b x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=a e^{a x} d x \\ v=-\frac{1}{b} \cos b x\end{array}\right.\right.\)

Trong truờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.

5. Bài tập.

5.1. Bài 1

a) Tính tích phân \(\mathrm{I}=\int_{1}^{3} \frac{3+\ln \mathrm{x}}{(\mathrm{x}+1)^{2}} \mathrm{dx}\).

Lời giải chi tiết:

\(I=\int_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{(x+1)^{2}} d x\)

\(=3 \int_{1}^{3} \frac{d x}{(x+1)^{2}}+\int_{1}^{3} \frac{\ln x}{(x+1)^{2}} d x \\I_{1}\)

\(=3 \int_{1}^{3} \frac{d x}{(x+1)^{2}}=\left.\frac{-3}{(x+1)}\right|_{1} ^{3}\)

\(=\frac{3}{4} \\I_{2}=\int_{1}^{3} \frac{\ln x}{(x+1)^{2}} d x\)

Đặt \(u=\ln x \Rightarrow d u=\frac{d x}{x}\)\(\mathrm{dv}=\frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{x}+1)^{2}}\).

Chọn \(\mathrm{v}=\frac{-1}{\mathrm{x}+1}\)

\(I_{2}=-\left.\frac{\ln x}{x+1}\right|_{1} ^{3}+\int_{1}^{3} \frac{d x}{x(x+1)}\)

\(=-\frac{\ln 3}{4}+\int_{1}^{3} \frac{d x}{x}-\int_{1}^{3} \frac{d x}{x+1}\)

\(=-\frac{\ln 3}{4}+\ln \frac{3}{2}\)

Vậy : \(I=\frac{3}{4}(1+\ln 3)-\ln 2\)

b) Tính \(\int_{1}^{e} x \ln x d x\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{\begin{array} { l } { u = \operatorname { l n } x } \\{ d v = x d x }\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right. \)

\(\\\int_{1}^{e} x \ln x d x\)

\(=\frac{x^{2}}{2} \ln x|e| 1-\frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x\)

\(=\frac{e^{2}}{2}-\left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{1} ^{e}=\frac{e^{2}+1}{4} .\)

5.2. Bài 2

• Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^{5}} d x\)

b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x d x\)

c) \(\int_{0}^{1} x e^{x} d x\)

d) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x\)

Lời giải chi tiết:

a) Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ d v=\frac{1}{x^{5}} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=\frac{d x}{x} \\ v=-\frac{1}{4 x^{4}}\end{array}\right.\right.\).

Do đó:

\(\int_{1}^{2} \frac{\ln x}{x^{5}} d x=-\left.\frac{\ln x}{4 x^{4}}\right|_{1} ^{2}+\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{d x}{x^{5}}\)

\(=-\frac{\ln 2}{64}+\left.\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4 x^{4}}\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{15-4 \ln 2}{256} .\)

b) Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=\cos x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.\)

Do đó:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x d x\)

\(=\left.(x \sin x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x\)

\(=\frac{\pi}{2}+\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1 \text {. }\)

c) Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=e^{x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=d x \\ v=e^{x}\end{array}\right.\right.\).

Do đó:

\(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=\left.x e^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} d x\)

\(=e-e^{x} \left\lvert\, \begin{array}{l}1 \\0\end{array}=e-(e-1)=1 .\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=e^{x} \\ d v=\cos x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=e^{x} d x \\ v=\sin x\end{array}\right.\right.\)

Đặt

\(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=e^{x} \\ d v_{1}=\sin x d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u_{1}=e^{x} d x \\ v_{1}=-\cos x\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x\)

\(=e^{\frac{\pi}{2}}+e^{x} \cos x\)

\(= \frac{\pi}{2}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x\)

\(\Leftrightarrow 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x\)

\(=e^{\frac{\pi}{2}}-1 \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \cos x d x=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}-1}{2}\).

Lời kết

Qua bài viết trên Examon đã tổng hợp những kiến thức, công thức và các phương pháp thực hiện tính tích phân từng phần và một số bài tập tích phân mẫu liên quan. Hy vọng rằng qua đây bạn đã hiểu hơn về Tích phân và tích phân từng phần, nắm được các kiến thức căn bản và đã có thể áp dụng giải bài tập tích phân liên quan. Bạn có biết rằng để học tốt chương Tích phân bạn không chỉ cần học thuộc, nắm các công thức, phương pháp mà còn phải thực hành luyện đề thật nhiều, vậy có bao giờ bạn tự hỏi vì sao luyện để lại quan trọng đến vậy chưa? Hãy để Examon giải thích cho bạn hiểu hơn nhé!

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!