Tích phân truy hồi và các bài toán liên quan

1. Kiến thức cần nhớ

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).

Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

trong đó :

\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,

\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,

\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân

\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

2. Phương pháp chung

Công thức chung : \(I_{n}=\int_{\alpha}^{\beta} f(x, n) d x\)

Các dạng bài thường gặp :

1. Thiết lập công thức truy hồi \(\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\mathrm{g}\left(\mathrm{I}_{\mathrm{n}+\mathrm{k}}\right)(\mathrm{k}=\overline{1 ; \mathrm{n}})\).

2. Chứng minh công thức truy hồi cho trước.

3. Sau khi thiết lập được công thức truy hồi yêu cầu đi tính \(\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\) úng với một vài giá trị \(n\) nào đó hoặc tính giới hạn của hàm số hoặc dãy số có liên quan với \(\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\).

Phương pháp tính : Sử dụng nguyên hàm từng phần

3. Bài tập minh họa

3.1. Bài tập 1

Bài 1 : Xét tích phân \(I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x d x\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).Chứng minh rằng \(\mathrm{I}_{\mathrm{n}+2}=\frac{1}{\mathrm{n}+1}-\mathrm{I}_{\mathrm{n}}\)

Lời giải

Ta có :

\(I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{\mathrm{n}+2} \mathrm{dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\left(\tan ^{\mathrm{n}+2} \mathrm{x}+\tan ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}\right)-\tan ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{n} x\left(\tan ^{2} x+1\right)-\tan ^{n} x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{n} x}{\cos ^{2} x} d x-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x d x\)

\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x d(\tan x)-I_{n}=\frac{1}{n+1}-I_{n}\)

3.2. Bài tập 2

Bài 2 : Cho \(I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x} d x\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\). Biết \(\left(u_{n}\right)\) là dãy cho bởi \(u_{n}=\frac{I_{n}}{I_{n+1}}\). Tìm \(\lim u_{n}\).

Lời giải

Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=v^{n} \\ d v=\sqrt{1-x} d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=n x^{n-1} d x \\ v=\int \sqrt{1-x} d x=-\frac{2}{3}(\sqrt{1-x})^{3}\end{array}\right.\right.\)

\(\Rightarrow \mathrm{I}_{\mathrm{n}}=-\left.\frac{2}{3} \mathrm{x}^{\mathrm{n}}(\sqrt{1-\mathrm{x}})^{3}\right|_{0} ^{1}+\frac{2}{3} \mathrm{n} \int_{0}^{1}(\sqrt{1-\mathrm{x}})^{3} \cdot x^{\mathrm{n}-1} \mathrm{dx}\)

\(=\frac{2}{3} n\left(\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} \cdot x^{n-1} d x-\int_{0}^{1} \sqrt{1-x} \cdot x^{n} d x\right)=\frac{2}{3} n\left(I_{n-1}-I_{n}\right)\)

Vậy \(I_{n}=\frac{2}{3} n\left(I_{n-1}-I_{n}\right) \Rightarrow I_{n}=\frac{2 n}{2 n+3} I_{n-1} \Rightarrow I_{n+1}=\frac{2 n+2}{2 n+5} I_{n}\)

\(\Rightarrow \lim u_{n}=\lim \frac{I_{n+1}}{I_{n}}=1\)

3.3. Bài tập 3

Bài 3 : Xét tích phân \(\mathrm{I}_{\mathrm{n}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{xdx}\) với \(\mathrm{n} \in \mathbb{N}^{*}\).Tìm mối quan hệ giữa \(\mathrm{I}_{n}, \mathrm{I}_{n+2}\)

Lời giải

Ta có: \(I_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n+2} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x=I_{n}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cdot \cos ^{2} x d x(1)\)

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}d u=-\sin x d x \\ v=\int \sin ^{n} x \cdot \cos x d x=\frac{\sin ^{n+1} x}{n+1}\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin _{n} x \cdot \cos ^{2} x d x=\left.\frac{\cos x \sin ^{n+1} x}{n+1}\right|_{0} ^{2}+\frac{1}{n+1} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n+2} x d x=\frac{I_{n+2}}{n+1}(2)\)

Thay \((2)\) vào \((1)\) ta có : \(I_{n+2}=I_{n}-\frac{I_{n+2}}{n+1} \Leftrightarrow I_{n}=\frac{n+2}{n+1} I_{n+2}\)

4. Nhận diện các dạng toán cùng Examon

Hy vọng rằng qua bài viết này của Examon đã giúp các bạn học sinh nắm bắt được nền tảng và ứng dụng của tích phân truy hồi, đồng thời khơi dậy niềm đam mê khám phá những khía cạnh mới mẻ trong toán học. Hãy tiếp tục rèn luyện và ứng dụng những kiến thức đã học vào các bài tập và thực tiễn, để không ngừng nâng cao kỹ năng và kiến thức của bản thân.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!