Tích Phân - Lý thuyết và các công thức liên quan
Bài viết dưới đây Examon chỉ rõ cho bạn các lý thuyết và các công thức cần ghi nhớ của tích phân.
Mục lục bài viết
Tích phân là dạng toán quan trọng xuất hiện nhiều, chiếm 1 điểm trong các đề thi THPT Quốc gia các năm. Vì vậy để giúp các sĩ tử không bị mất điểm ở các câu tích phân trong đề thi Examon đã tổng hợp lại lý thuyết và các công thức liên quan mà học sinh cần ghi nhớ và hiểu rõ chúng.

1. Các khái niệm tích phân cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Các tích chất quan trọng của tích phân xác định
Dựa vào công thức nguyên hàm cơ bản, ta có thể chỉ ra một số tích chất của tích phân xác định như sau :
(1) \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\).
(2) \(\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(b)-f(a)\).
(3) \(\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)
(4) \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\)
(5) \(\int_{a}^{b} k \mathrm{~d} x=k(b-a), k\) là hằng số
(6) \(\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)
(7) \(\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x\)
(8) \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)
3. Cách giải bài tập sử dụng định nghĩa và tích chất tích phân
Phương pháp giải :
Bước 1: Biến đổi để đưa \(f(x)\) về các hàm đơn giản (có thể tìm nguyên hàm được nhờ bảng nguyên hàm).
Bước 2: Tìm một nguyên hàm của các hàm đơn giản đó.
Bước 3: Áp dụng công thức tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)\), với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\).
4. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+x)^{3}}\)
Lời giải.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+x)^{3}}=\int_{0}^{1} \frac{d(1+x)}{(1+x)^{3}}=-\left.\frac{1}{2(x+1)^{2}}\right|_{0} ^{1}=\frac{3}{8}\)
Ví dụ 2: Tính tích phân sau: \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12} d x\)
Lời giải.
\(\begin{array}{l} I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12} d x \\ I=\int_{1}^{2}\left(1+\frac{16}{x-4}-\frac{9}{x-3}\right) d x=\left.(x+16 \ln |x-4|-9 \ln |x-3|)\right|_{1} ^{2}\end{array}\)
\(I =1+25 \ln 2-16 \ln 3\).
Ví dụ 3: Tính tích phân sau : \(A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \mathrm{dx}\)
Lời giải.
\(\begin{array}{l}\text { A = } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \mathrm{dx} \\ =\left.(-1) \cdot\left(-\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\ =\left.\cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}} \\ =\cos \left(\frac{-\pi}{4}\right)-\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=0\end{array}\)
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+x} d x\)
Lời giải.
Chia tự cho mẫu, ta được:
\[\begin{array}{l}\frac{x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+x}=x^{2}+3-\frac{x+2}{x^{2}+x}=x^{2}+3+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x} \\I=\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}\right) d x=\left[\frac{x^{3}}{3}+3 x+\ln |x+1|-2 \ln |x|\right]_{1}^{2} \\I=\frac{16}{3}+\ln \frac{3}{8}\end{array}\]5. Cách luyện đề đúng cách và hiệu quả
Trên đây là những lý thuyết và công thức cơ bản về tích phân mà chúng ta cần hiểu để áp dụng vào việc giải các bài toán tích phân. Việc nắm vững và áp dụng chúng vào thực hành sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả. Hy vọng rằng những kiến thức trên sẽ giúp ích cho các bạn trong việc học tập và nghiên cứu về tích phân. Các bạn có thể cùng đăng kí tham gia cùng Examon giải các bài tập và luyện đề hiệu quả. Chúc các bạn thành công và đạt điểm cao trong kỳ thi THPT sắp tới!
Các bạn đang không biết tại sao mình luyện nhiều đề thi như vậy mà điểm số không được cải thiện. Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
