Lý thuyết, công thức và các dạng bài tập Tích phân

1. Định nghĩa tích phân là gì ?

Tích phân là một khái niệm sử dụng nhiều trong toán 12 cùng với nghịch đảo của nó là vi phân. Chúng có vai trò quan trọng là hai phép tính cơ bản, chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Theo tiếng Hán Việt, tích được hiểu là tích góp còn phân có nghĩa là từng phần nhỏ. Như vậy ta có thể hiểu đơn giản rằng tích phân là tổng của nhiều phần nhỏ. Trong toán học thì tích phân được định nghĩa như sau:

Cho hàm \(f(x)\) của 1 biến thực \(x\) liên tục trên một khoảng xác định (kí hiệu: \(K\) ) và \(a,b\) là hai số thực bất kì thuộc \(K\). Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số của \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) trong khoảng ( \(a, b\) ). Từ đó, ta có ký hiệu như sau:

Tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(f(x)\) được ký hiệu là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Ta gọi \(a\) là cận dưới của tích phân, còn \(b\) là cận trên của tích phân.

Ta có: \(\int_{a}^{b} f(x) d x= \left.F(x)\right|_{a} ^{b} =F(b)-F(a)\) (với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\)

Trong đó

\(\int:\) tích phân
\(dx :\) biến của tích phân.
\(f(x) d x:\) biểu thức dưới dấu tích phân

Chú ý: Trong trường hợp \(\mathrm{a}=\mathrm{b}\) , ta quy ước \(\int_{a}^{a} f(x)dx=0\)

Nhận xét: Tích phân của hàm số \(f\) từ \(a\) đến \(b\) có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hay \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).

Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào \(f\) và các cận \(a,b\) mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a,b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a, x = b\). Vậy \(S=\int_{a}^{b} f(x) d x\)

2. Tích chất tích phân

Giả sử cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\mathrm{K}\) và \(a,b,c\) là ba số bất kỳ thuộc \(\mathrm{K}\). Khi đó ta có :

1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0

\[\int_{a}^{a} f(x)dx=0\]

2. Đổi cận thì đổi dấu

\[\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

3. Hằng số trong tích phân có thể được đưa ra ngoài dấu tích phân

\[\int_{b}^{a} k \times f(x) d x=k \times \int_{a}^{b} f(x) d x\]

4. Tích phân một tổng(hiệu) bằng tổng(hiệu) các tích phân

\[\int_{a}^{b}\left[f_{1}(x) \pm f_{2}(x) \pm \ldots \pm f_{n}(x)\right] d x=\int_{a}^{b} f_{1}(x) d x \pm \int_{a}^{b} f_{2}(x) d x \pm \ldots \pm \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x\]

5. Tách tích phân

\[\forall c \in[a, b] \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\]

6. So sánh giá trị của tích phân

Nếu \(f(x) \geq 0, \forall x \in[a ; b]\) thì : \(\int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0 \forall x \in[a ; b]\)
Nếu \(\begin{array}{l}\text {} \forall x \in[a ; b]: f(x) \geq g(x) \Rightarrow \int_{a}^{b} f(x) d x \geq \int_{a}^{b} g(x) d x\end{array}\)
Nếu \(\forall x \in[a ; b]\) có \(m \leq f(x) \leq M\) thì \(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\)

Ngoài ra còn một vài tính chất tích phân xác định mà các bạn thường gặp khi làm bài thi mà không thể bỏ qua như sau:

1. \(\int_{a}^{a} f(x) d x=0\)

2. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\)

3. \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x\)

4. \(\int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x\)

5. \(\int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x\)

6. \(\int_{a}^{b}(f(x)-g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x\)

7. \(\int_{a}^{b} f(u) u^{\prime}(x) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u) d u\)

8. \(\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x=\left.u(x) v(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) d x\)

3. Công thức tính phân cơ bản cần ghi nhớ

Để làm được các dạng bài tập tích phân các bạn cần lưu và ghi nhớ ngay các công thức sau đây:

1. \(\int d x=x+C\)

2. \(\int 0 d x=C\)

3. \(\int x^{a} d x=\frac{x^{a+1}}{\alpha+1}+C\)

4. \(\int(a x+b)^{n} d x=\frac{(a x+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C\)

5. \(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C\)

6. \(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C\)

7. \(\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C\)

8. \(\int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)

9. \(\int e^{x} d x=e^{x}+C\)

10. \(\int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a\gt 0, a \neq 1)\)

11. \(\int \cos x d x=\sin x+C\)

12. \(\int \sin x d x=-\cos x+C\)

13. \(\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} dx=\sqrt{x}+\mathrm{C}\)

14. \(\int \frac{d x}{\sqrt{a x+b}}=\frac{2}{a} \sqrt{a x+b}+C\)

15. \(\int \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C}\)

16. \(\int \frac{1}{(\mathrm{ax}+\mathrm{b})^{2}} \mathrm{dx}=-\frac{1}{\mathrm{a}} \cdot \frac{1}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C}\)

17. \(\int \cos (\mathrm{ax}+\mathrm{b}) \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \sin (\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{C}\)

18. \(\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

19. \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(\mathrm{ax}+\mathrm{b})} \mathrm{dx}=-\frac{1}{\mathrm{a}} \cot (\mathrm{ax}+\mathrm{b})+\mathrm{C}\)

20. \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

4. Phương pháp tính tích phân

4.1. Phương pháp đổi biến số

Với phương pháp biến đổi thì sẽ có 2 dạng và mỗi dạng là một cách tính khác nhau. Cụ thể là:

Dạng 1: Phương pháp đổi biến số dạng 1

Định lí: Cho hàm số \(\left[ \alpha ; \beta \right ]\) liên tục trên đoạn \(u \left( \alpha \right ) = a , u\left( \beta \right ) = b\). Giả sử hàm số \(f{\left( x \right )}\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(x = u\left( t \right )\) sao cho \(t \in \left[ \alpha ; \beta \right ]\) và \(\left[ a ; b \right ]\) với mọi \(a \le u \left( t \right ) \le b\). Khi đó\(\int_{a}^{b} f{\left( x \right )} dx = \int_{\alpha}^{\beta} f{\left( u \left( t \right ) \right )} u^{'} \left( t \right ) dt .\)

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(x=u(t)\).

- Bước 2: Tính vi phân hai vế: \(x = u(t) \Rightarrow dx=u^{\prime}(\mathrm{t}) dt\).

Đổi cận: \(\left|\begin{array}{l}x=b \\ x=a\end{array} \Rightarrow\right| \begin{array}{l}t=\beta \\ t=\alpha\end{array}\)

- Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t.

Vậy:

\[\begin{array}{l}I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f[u(t)] u^{\prime}(t) d t=\int_{\alpha}^{\beta} g(t) d t \\=\left.G(t)\right|_{\alpha} ^{\beta}=G(\beta)-G(\alpha)\end{array}\]

Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2

Định lí: Nếu hàm số \(u=u(x)\) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] sao cho \(f(x) d x=g(u(x)) u^{\prime}(x) d x=g(u) d u\) thì:

\[I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} g(u) d u\]

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(u = u(x) \Rightarrow du={u}^{\prime}({x}) {dx}\)

- Bước 2: Đổi cận: \(\left|\begin{array}{l}x=b \\ x=a\end{array} \Rightarrow\right| \begin{array}{l}u=u(b) \\ u=u(a)\end{array}\)\(\cdot\)

- Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo \(u\).

Vậy:

\[I=\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} g[u(x)] u^{\prime}(x) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} g(u) d u\]

4.2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lí: Nếu \(u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục trên \([a;b]\) thì ta có:

\[\begin{array}{l}\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d c=\left.(u(x) v(x))\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) d x \\\text { Hay } \int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{b}^{a} v d u\end{array}\]

Phương pháp chung:

- Bước 1: Viết \(f(x) d x\) dưới dạng \(udv = uv'dx\) bằng cách chọn một phần tích hợp của \(f(x)\) làm \(u(x)\) và phần còn lại \(d v=v^{\prime}(x) d x\)

- Bước 2: Tính du=u'dx và \(u=\int d v=\int v^{\prime}(x) d x\)

- Bước 3: Tính \(\int_{a}^{b} v d u=\int_{a}^{b} u^{\prime} vd x\) và \(uv\)\(\left.\right|_{a} ^{b}\)

- Bước 4: Áp dụng công thức \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} u v d=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\)

4.3. Phương pháp vi phân

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) được ký hiệu \(dy\) và cho bởi \(d y=d f(x)=y^{\prime} d x=f^{\prime}(x) d x\)

Một số công thức vi phân quan trọng cần phải nhớ:

1. \(d x=\frac{1}{a} d(a x \pm b)=\frac{-1}{a} d(b \pm a x)\)

2. \(x d x=\frac{1}{2} d\left(x^{2}=\frac{1}{2 a} d\left(a x^{2} \pm b\right)=-\frac{1}{2 a} d\left(b \pm a x^{2}\right)\right.\)

3. \(x^{2} d x=\frac{1}{3} d\left(x^{3} \pm b\right)=\frac{-1}{3 a} d\left(b \pm a x^{3}\right)\)

4. \(\sin x=-d(\cos x)=\frac{-1}{a} d(a \cos x \pm b)\)

5. \(\cos x d x=d(\sin x)=\frac{1}{a} d(a \sin x \pm b)\)

6. \(\frac{d x}{\cos ^{2} x}=d(\tan x)=\frac{1}{a} d(\operatorname{atan} x \pm b)\)

7. \(\frac{d x}{\sin ^{2} x}=-d(\cot x)=\frac{-1}{a} d(a \cot x \pm b)\)

8. \(\frac{d x}{2 \sqrt{x}}=d(\sqrt{x})=\frac{1}{a} d(a \sqrt{x} \pm b)=\frac{-1}{a} d(b \pm a \sqrt{x})\)

9. \(e^{x} d x=d\left(e^{x}\right)=\frac{1}{a} d\left(a e^{x} \pm b\right)=\frac{-1}{a} d\left(b \pm a e^{x}\right)\)

10. \(\frac{d x}{x}=d(\ln x)=\frac{1}{a d(a \ln x \pm b)}=\frac{-1}{a} d(b \pm a \ln x)\)

4.4. Phương pháp tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp chung:

Để tính tích phân \(I=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\) ta làm như sau:

- Bước 1:

Xác định các đoạn \(\left[a_{1}, b_{1}\right] ;\left[a_{2}, b_{2}\right] ; . . ;\left[a_{n}, b_{n}\right] ; \subset[a ; b]\) mà trên đó \(f(x) \geq 0\).

Xác định các đoạn \(\left[a_{n+1}, b_{n+1}\right] ;\left[a_{n+2}, b_{n+2}\right] ; \ldots ;\left[a_{m}, b_{m}\right] ; \subset[a ; b]\) mà trên đó \(f(x) \leq 0\)

- Bước 2:

Ta có:

\[\begin{array}{l}I=\int_{a}^{b}|f(x)| d x \\=\int_{a_{1}}^{b} f(x) \cdot d x+\int_{a_{2}}^{b_{2}} f(x) \cdot d x+\ldots+\int_{a_{n}}^{b_{n}} f(\mathrm{x}) \cdot d x- \int_{a_{n+1}}^{b_{n+1}} f(x) d x-\int_{a_{n+2}}^{b_{n+2}} f(\mathrm{x}) d x-\ldots-\int_{a_{m}}^{b_{m}} f(x) d x\end{array}\]

Áp dụng các phương pháp tính tích phân đã từng học để tính I.

4.5. Phương pháp tính tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số \(y =f(x)\) xác định, liên tục trên đoạn \([-a;a]\).

Nếu hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn thì \(I=\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) d x\)
Nếu hàm số \(y=f(x)\) là hàm số lẻ thì \(I=\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

5. Một số dạng bài tập tích phân cơ bản

5.1. Dạng 1: Hàm phân thức

Ví dụ 1: Tính tích phân của hàm số sau:

\[I=\int_{3}^{4} \frac{x+1}{x-2} d x\]

Bài giải:

Ta có:

\[\begin{aligned}I & =\int_{3}^{4} \frac{x+1}{x-2} d x \\& =\int_{3}^{4}\left(1+\frac{3}{x-2}\right) d x \\& =\left[x+\left.3 \ln (x-2)\right|_{3} ^{4}\right. \\& =(4+3 \ln 2)-(3+\ln 1) \\& =1+3 \ln 2\end{aligned}\]

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: \(I=\int_{1}^{2} \frac{x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+x} d x\)

Bài giải:

Chia tử cho mẫu, ta được:

\[\begin{array}{l}\frac{x^{4}+x^{3}+3 x^{2}+2 x-2}{x^{2}+x}=x^{2}+3-\frac{x+2}{x^{2}+x}=x^{2}+3+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x} \\I=\int_{1}^{2}\left(x^{2}+3+\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x}\right) d x=\left[\frac{x^{3}}{3}+3 x+\ln |x+1|-2 \ln |x|\right]_{1}^{2} \\I=\frac{16}{3}+\ln \frac{3}{8}\end{array}\]

5.2. Dạng 2: Hàm logarit

Ví dụ: Tính tích phân của hàm số:

\[I=\int_{0}^{1} e^{x}\left(2 e^{x}+1\right)^{3} d x\]

Bài giải:

Ta có:

\[\begin{aligned}I & =\int_{0}^{1} e^{x}\left(2 e^{x}+1\right)^{3} d x \\& =\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(2 e^{x}+1\right)^{3} d\left(2 e^{x}+1\right) \\& =\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{\left(2 e^{x}+1\right)^{4}}{4}\right|_{0} ^{1} \\& =\frac{1}{2}\left[\frac{(2 e+1)^{4}}{4}-\frac{81}{4}\right] \\& =\frac{(2 e+1)^{4}}{8}-\frac{81}{8}\end{aligned}\]

5.3. Dạng 3: Hàm căn thức

Ví dụ: Tính tích phân của hàm số:

\[I=\int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} d x\]

Bài giải:

Ta có:

\[\begin{aligned}I & =\int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} d x \\& =\frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sqrt{2 x+1} d(2 x+1) \\& =\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(2 x+1) \sqrt{2 x+1}\right|_{0} ^{4} \\& =9-\frac{1}{3}=\frac{26}{3}\end{aligned}\]

5.4. Dạng 4: Hàm đa thức

Ví dụ: Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{2} x(x+1)^{2} d x\)

Bài giải:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\text { } x(x+1)^{2}=x\left(x^{2}+2 x+1\right) \\ =x^{3}+2 x^{3}+x\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\text { Khi đó } I=\int_{0}^{2}\left(x^{3}+2 x^{3}+x\right) d x \\ =\left.\left(\frac{x^{4}}{4}+\frac{2 x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{34}{3} \\\end{array}\)

5.5. Dạng 5: Hàm lượng giác

Ví dụ: Tính tích phân: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan x+e^{\sin x} \cos x\right) d x\)

Bài giải:

\[\begin{aligned}I & =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan x+e^{\sin x} \cdot \cos x\right) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x d x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\sin x)^{\prime} e^{\sin x} d x \\& =\left.(-\ln |\cos x|)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}+\left.\left(e^{\sin x}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\ln \sqrt{2}+e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}-1\end{aligned}\]

6. Sơ đồ tư duy - Tích phân

7. Con đường đến thành công

Trên đây là toàn bộ phần lý thuyết trọng tâm nhất về phần tích phân. Việc học tích phân đôi khi có thể gây ra sự khó khăn cho học sinh.

Tuy nhiên, để thành thạo môn học này, bạn cần tiếp tục luyện tập và rèn luyện kỹ năng tính toán, đồng thời không nên bỏ lỡ cơ hội thực hành thông qua các bài tập, đề thi. Examon ở đây để cung cấp cho bạn những bài tập, những đề thi hiệu quả nhất.

Nhưng đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon