Tích phân hàm vô tỷ - Bài tập và phương pháp giải

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm \(f(x)\) của 1 biến thực \(x\) liên tục trên một khoảng xác định (kí hiệu: \(K\) ) và \(a,b\) là hai số thực bất kì thuộc \(K\). Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số của \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) trong khoảng ( \(a, b\) ). Từ đó, ta có ký hiệu như sau:

Tích phân từ \(a\) đến \(b\) của \(f(x)\) được ký hiệu là: \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

Ta gọi \(a\) là cận dưới của tích phân, còn \(b\) là cận trên của tích phân.

Ta có: \(\int_{a}^{b} f(x) d x= \left.F(x)\right|_{a} ^{b} =F(b)-F(a)\) (với \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\)

Trong đó

\(\int:\) tích phân
\(dx :\) biến của tích phân.
\(f(x) d x:\) biểu thức dưới dấu tích phân

2. Các dạng tích phân thường gặp và phương pháp giải

2.1. Dạng 1

\(I=\int_{a}^{b} f\left(x ; \sqrt{x^{2}-k}\right) d x\)

Hàm số có chứa \(\sqrt{x^{2}-k}\)

Đặt \(\sqrt{x^{2}-k}=t-x \Rightarrow x^{2}-k=(t-x)^{2} \Rightarrow x^{2}-k=t^{2}-2 x t+x^{2} \Rightarrow x=\frac{t^{2}+k}{2 t}\)

2.2. Dạng 2

\(I=\int \sqrt{(x+a)(x+b)} d x\)

Hàm số có chứa \(\sqrt{(x+a)(x+b)}\)

Đặt \(t=x+\frac{a+b}{2}\)

2.3. Dạng 3

\(I=\int \frac{1}{\sqrt{(x-a)(-x+b)}} d x, a\lt b\)

Đặt \(x=a+(b-a) \sin ^{2} t,\left(0\lt t\lt \frac{\pi}{2}\right)\)

\[\begin{array}{l}d x=2(b-a) \sin t \cos t d t \\x-a=(b-a) \sin ^{2} t,-x+b=(b-a)\left(1-\sin ^{2} t\right)=(b-a) \cos ^{2} \mathrm{t} \\\mathrm{I}=\int \frac{2(b-a) \sin t \cos t}{\sqrt{(b-a)^{2} \sin ^{2} t \cos ^{2} t}} d t=\int 2 d t=2 t\end{array}\]

2.4. Dạng 4

\(I=\int f\left(x ; \sqrt{a-x^{2}}\right) d x\)

Hàm số có chứa \(\sqrt{a-x^{2}}\)

Đặt \(x=\sqrt{a} \sin t\)

2.5. Dạng 5

\(I=\int f\left(x ; \sqrt{x^{2}+a}\right) d x\)

Có 2 cách :

Cách 1: đặt \(x=\sqrt{a} \tan t\)

Cách 2: đặt \(\sqrt{x^{2}+a}+x=t\)

2.6. Dạng 6

\[I=\int \frac{1}{\left(a^{\prime} x+b^{\prime}\right) \sqrt{a x^{2}+b x+c}} d x\]

Đặt \(t=\frac{1}{a^{\prime} x+b^{\prime}}\)

2.7. Dạng 7

\(I=\int \frac{1}{\sqrt{a x+b}+\sqrt{a x+c}} d x\) or \(\int \frac{1}{\sqrt{a x+b}-\sqrt{a x+c}} d x\)

Nhân liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại) sử dụng các dạng toán trên để tính tiếp

2.8. Dạng 8

\(I=\int \frac{1}{x^{n} \sqrt{x^{m}+k}} d x\)

Đặt \(t=\frac{\sqrt{x^{m}+k}}{x}\)

3. Bài tập minh họa

3.1. Bài tập 1

Bài 1: Tính các tích phân sau : \(I=\int_{0}^{4} \frac{\sqrt{2 x+1}}{1+\sqrt{2 x+1}} d x\)

Lời giải

Đặt

\[\begin{array}{l}\mathrm{t}=\sqrt{2 \mathrm{x}+1} \Rightarrow \mathrm{t}^{2}=2 \mathrm{x}+1 \\\Rightarrow 2 \mathrm{tdt}=2 \mathrm{dx} \Leftrightarrow \mathrm{dx}=\mathrm{tdt}\end{array}\]

Đổi cận: \(x=0 \Rightarrow t=1 ; x=4 \Rightarrow t=3\)

\[\begin{array}{l}I=\int_{1}^{3} \frac{t^{2}}{1+t} d t=\int_{1}^{3}\left(t-1+\frac{1}{t+1}\right) d t \\=\left.\left(\frac{t^{2}}{2}-t+\ln |t+1|\right)\right|_{1} ^{3} \\=\left(\frac{9}{2}-3+\ln 4\right)-\left(\frac{1}{2}-1+\ln 2\right) \\=2+\ln 2\end{array}\]

3.2. Bài tập 2

Bài 2 : Tính tích phân sau :

\[I=\int_{-1}^{0} x \cdot \sqrt[3]{x+1} d x\]

Lời giải

\(\text{Đặt} t=\sqrt[3]{x+1} \Rightarrow t^{3}=x+1 \Rightarrow d x=3 t^{2} d t\)

\(\Rightarrow I=\int_{0}^{1} 3\left(t^{3}-1\right) d t=\left.3\left(\frac{t^{7}}{7}-\frac{t^{4}}{4}\right)\right|_{0} ^{1}=-\frac{9}{28}\)

3.3. Bài tập 3

Bài 3 : Tính các tích phân sau: \(I_{}=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+\sqrt{x}}\)

Lời giải

Đặt \(t=\sqrt{x} \Rightarrow t^{2}=x \Rightarrow d x=2 t d t\)

Đồi cận:

\[\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=0 \\x=1 \Rightarrow t=1\end{array}\]\[\begin{array}{l}I_{}=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} \cdot 2 t d t=\int_{0}^{1}\left(2-\frac{2}{t+1}\right) d t \\=\left.(2 t-2 \ln |t+1|)\right|_{0} ^{1}=2-2 \ln 2\end{array}\]

4. Luyên đề Toán cùng Examon

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau khám phá các phương pháp giải và bài tập liên quan đến tích phân hàm vô tỷ. Hy vọng rằng thông qua những ví dụ và hướng dẫn cụ thể, các bạn đã nắm vững hơn về các kỹ thuật tính toán cũng như hiểu rõ hơn tích phân hàm vô tỷ trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúc các bạn luôn giữ lửa đam mê với toán học, tiếp tục nỗ lực học hỏi và khám phá những điều mới mẻ.

Bạn có thể tham khảo phương pháp học tập hiệu quả của Examon.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!