Tích phân hàm tuần hoàn - Bài tập và phương pháp giải
Đến với bài viết này, bạn sẽ cùng Examon đi khám phá phương pháp tính tích phân hàm tuần hoàn, từ đó áp dụng vào việc giải quyết các bài tập cụ thể.
Mục lục bài viết
Bài viết này sẽ dẫn dắt bạn đọc qua những lý thuyết căn bản, cách thức áp dụng và phương pháp giải chi tiết các bài tập tích phân hàm tuần hoàn. Hãy bắt đầu chuyến hành trình khám phá cùng với Examon để không chỉ làm chủ các kỹ năng tính toán mà còn trang bị cho mình những công cụ mạnh mẽ để giải quyết bài toán tích phân phức tạp.
1. Lý thuyết cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Các tính chất quan trong
Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm tuần hoàn chu kì \(\mathrm{T}, \mathrm{f}(\mathrm{x}+\mathrm{T})=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) thì ta có:
\(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a+n T}^{b+n T} f(x) d x\)
\(\int_{0}^{T} f(x) d x=\int_{a}^{a+T} f(x) d x\)
\(\int_{0}^{n T} f(x) d x=n \int_{0}^{T} f(x) d x\)
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Tính tích phân sau \(\mathrm{I}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[(\tan 2 \mathrm{x})^{2007}+(\sin 6 \mathrm{x})^{2009}\right] \mathrm{dx}\) ?
Lời giải
Ta có \(f(x)=(\tan 2 x)^{2007}+(\sin 6 x)^{2009}\) tuần hoàn với chu kì \(2 \pi\) nên :
\(I=\int_{0-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}}\left[(\tan 2 x)^{2007}+(\sin 6 x)^{2009}\right] d x\)
\(=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[(\tan 2 x)^{2007}+(\sin 6 x)^{2009}\right] d x\)
Do \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm lẻ trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}\right]\) nên ta có \(\mathrm{I}=0\)
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Tính giá trị của tích phân \(\int_{-2^{2019} \pi}^{2^{2 n 9} \pi}\left(\cos 2 x-\cos ^{2} 2 x\right) \mathrm{dx}\).
Lời giải
Nhận thấy hàm số \(\cos 2 x-\cos ^{2} 2 x\) là hàm chẵn và tuần hoàn chu kì \(\pi\), nên ta biến đổi về tích phân như sau :
\(I=2 \int_{0}^{2^{2119} \pi}\left(\cos 2 x-\cos ^{2} 2 x\right) d x=2.2^{2019} \int_{0}^{\pi}\left(\cos 2 x-\cos ^{2} 2 x\right) d x\)
\(=2^{2020} . J\)
Ta có :
\(J=\int_{0}^{\pi} \cos 2 x d x-\int_{0}^{\pi} \cos ^{2} 2 x d x=\left.\frac{\sin 2 x}{2}\right|_{0} ^{\pi}-\left.\left(\frac{1}{2} x-\frac{\sin 4 x}{8}\right)\right|_{0} ^{\pi}=-\frac{1}{2} \pi\)
\( \Rightarrow I=-2^{2019} \pi\)
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Tính tích phân sau \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x\)
Lời giải
Ta có :
\(\mathrm{I}=\int_{0}^{\pi} \frac{(\sin 3 \mathrm{x})^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} \mathrm{dx}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x+\int_{2 \pi}^{4 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x\)
Nhận thấy rằng \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{(\sin 3 \mathrm{x})^{7}(\cos 5 \mathrm{x})^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}}\) tuần hoàn với chu kì \(2 \pi\) nên theo tính chất của hàm tuần hoàn ta có :
\(\int_{2 \pi}^{4 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x=\int_{2 \pi}^{2 \pi+2 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x=\int_{0}^{2 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x\)
\(\Rightarrow I=2 \int_{0}^{2 \pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x=2 \int_{0-\pi}^{2 \pi-\pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x\)
\(=2 \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}} d x\)
Mà \(f(x)=\frac{(\sin 3 x)^{7}(\cos 5 x)^{8}}{1+(\cos 7 x)^{10}}\) là hàm lẻ nên ta có \(\mathrm{I}=0\)
4. Khám phá chủ đề mới cùng Examon
Kết thúc bài viết về tích phân hàm tuần hoàn, chúng ta đã cùng nhau đi qua một hành trình khám phá đầy thú vị và bổ ích. Việc hiểu rõ các khái niệm cơ bản cũng như nắm vững những phương pháp giải bài toán tích phân không chỉ giúp các bạn học sinh có thêm kiến thức sâu rộng hơn về toán học mà còn trang bị cho các bạn những công cụ quan trọng cho các kỳ thi và ứng dụng thực tiễn sau này.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!