Tích phân hàm số lẻ và chẵn
Tính tích phân hàm số lẻ và hàm số chẵn làm bạn đau đầu, hôm nay Examon sẽ giúp bạn tìm hiểu những phương pháp giải đơn giản nhất.
Mục lục bài viết
Trong chương trình Toán lớp 12, tích phân là một chương quan trọng và khá trọng tâm, bài tập tích phân, các câu hỏi tính tích phân chiếm phần lớn trong các bài thi và kiểm tra. Đến với bài viết hôm nay Examon tiếp tục giới thiệu đến bạn một phương pháp tính tích phân các hàm số chẵn và lẻ, cùng với các kiến thức căn bản, nâng cao và một số bài tập vận dụng giúp các bạn nắm lại kiến thức, hiểu sâu hơn về phương pháp này, tự tin áp dụng để giải bài tập tích phân liên quan đến hàm số chẵn và lẻ.
1. Khiến thức chung.
• Nhắc lại kiến thức về hàm số lè và hàm số chẵn:
- Hàm số \(y=f(x)\) có miền xác định trên tập đối xứng \(\mathrm{D}\) và:
+ Nếu
\(f(-x)=f(x), \forall x \in D \Rightarrow y=f(x)\) là hàm số chẵn.
+ Nếu
\(f(-x)=-f(x), \forall x \in D \Rightarrow y=f(x)\) là hàm số lẻ.
+ Thường gặp cung góc đối nhau của\(\cos (-x)=\cos x, \sin (-x)=-\sin x\).
• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và lè trên \([-a ; a]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\).
• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và chẵn trên \([-a ; a]\)
thì \(\left\{\begin{array}{l}\int_{-\alpha}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x \\ \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{b^{x}+1} d x=\int_{0}^{a} f(x) d x\end{array}\right.\).
2. Tính chất cần nắm.
1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)
2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)
4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)
5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )
7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]\((k\) là hằng số\()\)
8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)
10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)
3. Phương pháp tính.
3.1. Bước 1.
• Phân tích: \(I=\int_{-a}^{a} f(x) d x\)
\(=\int_{-a}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(x) d x=A+B\)
3.2. Bước 2.
•Tính \(A=\int_{-a}^{0} f(x) d x\)\(?\) bằng cách đổi biến \(t=-x\)
• Và cần nhớ rằng: tích phân không phụ thuộc vào biến, mà chỉ phụ thuộc vào giá trị của hai cận, chẳng hạn luôn có: \(\int_{-2014}^{0} \frac{3 t^{2} \cos t}{1+\sin ^{2} t} d t=\int_{-2014}^{0} \frac{3 x^{2} \cos x}{1+\sin ^{2} x} d x\).
4. Bài tập.
4.1. Bài tập 1.
Cho \(f(x)\) là hàm số chẵn trên đoạn \([-a ; a]\) và \(k\gt 0\). Giá trị tích phân \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\) bằng?
A. \(\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
B. \(\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
C. \(2 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
D. \(2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)
Xét tích phân \(\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k^{k}}} \mathrm{~d} x\).
Đặt \(t=-x \Leftrightarrow x=-t\)
\(\Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \Leftrightarrow-\mathrm{d} t=\mathrm{d} x\)
Đổi cận:
\(\begin{array}{l}x=-a \Rightarrow t=a \\x=0 \Rightarrow t=0\end{array}\)
Khi đó,
\(\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1+\mathrm{e}^{k(-t)}}(-\mathrm{d} t)\)
\(=\int_{0}^{0} \frac{f(t)}{1+\mathrm{e}^{-k t}} \mathrm{~d} t \\=\int_{0}^{0} \frac{\mathrm{e}^{k t} \cdot f(t)}{1+\mathrm{e}^{k t}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{0}^{0} \frac{\mathrm{e}^{k x} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{\mathrm{k}}} \mathrm{d} x\\)
Do đó, \(\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{e}^{k x} \cdot f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x\)
\(=\int_{0}^{a} \frac{\left(\mathrm{e}^{k x}+1\right) f(x)}{1+\mathrm{e}^{k x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x\)
4.2. Bài tập 2.
Cho \(f(x)\) là hàm số chẵn và \(\int_{0}^{1} f(x) d x=2\). Giá trị của tích phân \(\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+2019^{x}} d x\) là?
A. \(\frac{2}{2019}\).
B. 2 .
C. 4 .
D. 0 .
giải chi tiết:
\(I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+2019^{x}} d x\)
Đặt \(t=-x \rightarrow-d t=d x\)\(I=-\int_{1}^{-1} \frac{f(-t)}{1+2019^{-t}} d t\)
\(=\int_{-1}^{1} \frac{f(t)}{1+2019^{t}} d t=\int_{-1}^{1} \frac{2019^{t} f(t)}{1+2019^{t}} d t \\ \)
\(\Rightarrow 2 I=\int_{-1}^{1} \frac{2019^{t} f(t)}{1+2019^{t}} d t\)
\(+\int_{-1}^{1} \frac{f(t)}{1+2019^{t}} d t\)
\(=\int_{-1}^{1} \frac{f(t)\left(1+2019^{t}\right)}{1+2019^{t}} d t \\ \)
\(\Rightarrow 2 I=\int_{-1}^{1} f(t) d t\)
\(=2 \int_{0}^{1} f(t) d t=2.2 \Rightarrow I=2.\)
=> Chọn đáp án B.
Lời kết
Bài viết trên, Examon đã tổng hợp những kiến thức, công thức và các phương pháp giải bài tập tích phân liên quan đến hàm số lẻ và hàm số chẵn. Hy vọng rằng, qua đây bạn đã có cái nhìn tổng quát hơn về Tích phân cũng như là tích phân của các hàm số chẵn, lẻ và đã có thể áp dụng các công thức và các phương pháp tính tích phân trong bài viết để giải các bài tập tích phân liên quan nhé. Để thành thạo trong việc giải bài và đạt được điểm cao trong các bài thi, bài kiểm tra việc luyện đề là vô cùng quan trọng bạn nhé! Bạn có biết vì sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không?
Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!